Question

Основание прямого параллелепипеда abcda1b1c1d1-параллелограмм abcd ,в котором cd= 2 корня из 3, угол d равен 60 градусов. тангенс угла между плоскостью а1вс и плоскостью основания равен 6.найдите высоту параллелепипеда.

Answer 1

В основании прямого параллелепипеда- параллелограмм АВCD.
Боковые ребра АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ перпендикулярны плоскости АВСD.
Плоскость А₁СВ  пересекает грань АА₁В₁В по прямой А₁В,
Так как грани АА₁В₁В и СС₁D₁D параллельны, то плоскость А₁СВ пересекает грань СС₁D₁D  по прямой СD₁, параллельной А₁B.
Найдем линейный угол двугранного угла между плоскостью А₁ВСD₁ и плоскостью АВСD:  проведем $AK\perp BC$.
Треугольник А₁АК- прямоугольный. $\angle A _{1} KA=90 ^{o}$
так как прямая  АА₁ перпендикулярна плоскости АВСD, значит АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой АК.
Значит, А₁К-наклонная, АК-проекция наклонной на плоскость АВСD.
По теореме о трех перпендикулярах
$A _{1}K\perp BC$
Угол А₁KА - линейный угол двугранного угла. $\angle A _{1}KA=60 ^{o}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК: $\angle AKB=90 ^{o}$ АВ=CD=2√3.
Угол АВК равен углу АDС.  $\angle ABK=60 ^{o}$, тогда $\angle BAK=30 ^{o}$
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, значит ВК=√3. По теореме Пифагора АК=√((2√3)²-(√3)²)=√(12-3)=√9=3

Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁АК: $\angle A _{1}KA=60 ^{o}$,
$\angle KA _{1} A=30 ^{o}$  АК=3.
Катет АК равен половине гипотенузы А₁К, значит гипотенуза  А₁К=6.
По теореме Пифагора А₁А=√А₁К²-АК²=√(6²-3²)=√(36-9)=√27=3√3
ответ. Высота параллелепипеда равна 3√3.