Question

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотинузе, разбивает его на два треугольника. докажите, что площади этих треугольников равны.

Answer 1

Дан треугольник АВС. Медиана СМ делит основание АB пополам. АМ=МB=а.
Проведем высоту CН. Высота CН является высотой и тупоугольного треугольника АCМ и высотой остроугольного треугольника CМB.

S (Δ АCМ)=(AM·CH)/2=а·Н/2
S (Δ CМB)=(МB·CН)/2=а·Н/2

S(Δ ACM)= S(Δ CMB)

Аналогично и для прямоугольного треугольника
Медиана См делит гипотенузу АВ пополам АМ=МВ=с/2

S (Δ АCМ)=(AM·CH)/2=(с/2)·Н/2=с·Н/4
S (Δ CМB)=(МB·CН)/2=(с/2)·Н/2=с·Н/4

S(Δ ACM)= S(Δ CMB)

Answer 2

Треугольник АВС, опишем возле него окружность.
Центр окружности О будет совпадать с серединой гипотенузы (это доказано).
Значит ВО-медиана, а треугольник АВО и СВО-равнобедренные ( АО=ОВ, ОВ=ОС радиусы одной окружности).
Sabo=1/2*AO*OB*sin АOВ;
Scbo=1/2*AO*OС*sin АОС.
Углы АОВ и АОС -смежные, а синусы смежных углов равны.
Значит площади треугольников равны