Question

Втреугольнике abc на сторонах ab и bc взяты соответственно точки к и p так, что ak : kb = 1 : 2, cp : pb = 2 : 1. прямые ap и ck пересекаются в точке e. найдите площадь треугольника abc, если площадь треугольника bec равна 4.

Answer 1

Опустим прямую $BD$ так чтобы она пересекала точку $E$ , по теорема Ван Обеля и Чевы соответственно получаем 
$\frac{BE}{ED} = \frac{2}{1}+\frac{1}{2}\\ \frac{BE}{ED} = \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{DC}{AD}=1 \\ \frac{DC}{AD}=4\\$ 
$\frac{EC}{EK} = \frac{2}{1}+4 = 6$         
 
$S_{BEC} =\frac{5a*3y*sinBDC}{2} = 4\\ S_{BDC} = \frac{7a*3y*sinBDC}{2}=\frac{28}{5}\\ S_{DEC} = \frac{28}{5}-4 = \frac{8}{5}\\ S_{DEC} = \frac{6b*4z*sinKCA}{2} = \frac{8}{5}\\ S_{KCA} = \frac{7b*5z*sinKCA}{2} = \frac{7}{3} \\ S_{KEAD} = \frac{7}{3} - \frac{8}{5} = \frac{11}{15}\\ S_{KEAD} = \frac{3x*7a *sinABD}{2} - \frac{2x*5a*sinABD}{2}= \frac{11}{15} \\ S_{ABD} = \frac{3x*7a*sinABD}{2} = \frac{21ax*sinABD}{2} = \frac{21}{15}\\ S_{ABC} = \frac{21}{5} + \frac{28}{5} = 7$ 
 
  
ответ $7$ 
 
 Есть более короткое решение по теореме МЕНЕЛАЯ 
  $\frac{AP}{PE} = \frac{7}{4}$ , тогда площадь треугольника 
 $\frac{7}{4}*4=7$