Диагонали параллелограмма abcd пересекаются в точке о.докажите что сумма площадей треугольников aob и cod равна сумме площадей треугольников aod и boc.
Дан параллелограмм АВСD. ВD и АС - диагонали. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Обозначим АО=ОС=п, ВО=ОD=m. Площади треугольников можно вычислить по формуле S=1/2ab*sinα (половина произведения сторон на синус угла между ними). Тогда : S(АОВ)=1/2mn*sinα S(COD)=1/2mn*sinα S(AOD)=1/2mn*sinβ S(BOC)=1/2mn*sinβ Так как синусы углов α и β равны, то получим S(AOB)+S(COD)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα S(AOD)+S(BOC)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα Получили, что суммы площадей указанных треугольников равны mn*sinα=mn*sinα
АВС - данный равнобедренный треугольник с основанием АС = 30. АК - высота к боковой стороне ВС. АК = 24 Треугольник АКС прямоугольный. Находим по теореме Пифагора СК. СК = sqrt(30^2 - 24^2) = 18 Проводим высоту к основанию, это будет отрезок ВН. Треугольники ВНС и АКС подобны по двум углам. Тогда выполняется пропорция ВС / АС = НС / КС, НС = 1/2АС = 15 ВС / 30 = 15 / 18 Отсюда ВС = 30*15 / 18 = 25 Боковая сторона равна 25
А можно и уравнением сделать. АВ = х, ВК = х - 18 Уравнение: 24^2 + (x - 18)^2 = x^2 Решив уравнение, получите х = 25
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только одну. Доказательство : предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.
S(АОВ)=1/2mn*sinα S(COD)=1/2mn*sinα
S(AOD)=1/2mn*sinβ S(BOC)=1/2mn*sinβ
Так как синусы углов α и β равны, то получим
S(AOB)+S(COD)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα
S(AOD)+S(BOC)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα
Получили, что суммы площадей указанных треугольников равны
mn*sinα=mn*sinα