Выпуклый четырехугольник abcd таков, что как бы ни разрезали его на три треугольника, всегда среди них найдется треугольник площади 1. докажите, что abcd – параллелограмм и его площадь равна 2.
Cмотрим на рисунок слева: Разрежем 4 угольник как показано на рисунке а именно: Проведем диагональ AC на ней отмечаем точку G. Проводим GB. Итак вышло 3 треугольника: ABG BGC ADC (так мы их и разрежем) ПО условию площадь хотя бы одного треугольника равна 1. Предположим что площадь либо одного из треугольников ABG и BGC либо их обоих равна 1. А площадь ADC не равна 1. Тогда проведем еще 1 отрезок BG'. Так что BG не равен G'C то естественно площади обоих треугольников изменились при смещении точки G (тк изменились длинны оснований,а высота у всех этих треугольников общая) Но тогда площади обоих треугольников ABG' и BG'C уже не равны 1. Но тогда тк из условия хотя бы 1 из площадей равен 1. То площадь ADC равна 1,но это противоречит условию тк при первом разрезании его площадь не была 1.(а треугольник ADC тот же) То мы пришли к противоречию. То раз только среди треугольников ABG BGC не может быть равного 1 площади. То площадь треугольника ADC равна 1. Анологично в силу симетрии задачи можно доказать что площади всех треугольников: ABC, BCD, ADC ,ABD- равны 1 Посмотрим на 2 рисунок: У пары треугольников (ADC,BСD) и (ABC ,DBC) Проведем в каждой паре треугольников высоты на стороны соответственно DC и BC . Тк треугольники в каждой паре равновеликие (тк все равны 1),а площадь треугольника 1/2осн*высоту. То раз они имеют общие основания. То высоты в каждой паре равны. А тк понятно что если AL и A'L' 2 равных перпендикуляра к прямой Ф. То прямые Ф и AA' паралельны. То без ограничений общности выходит что: AB паралельно DC AD параллельно BC. То есть это параллелограмм. Тк SADC=SABC=1 то площадь параллелограмма равна 2 Что и требовалось доказать.
В треугольнике аоb: угол о = 90гр.; bo =oa (как радиусы), значит тр-ник аоb -равнобедренный, угол а =углуb = (180-90) : 2 = 45гр.(углы при основании равнобедренного треугольника равны. Кратчайшее расстояние от точки о до хорды аb - это высота, проведённая из вершины о к хорде. Точку пересечения высоты с хордой обозначим буквой с. Рассмотрим треугольник оса: угол оса =90гр, угол а=45гр.,угол аос = (180-90-45) = 45гр. Значит, треугольник оса - равнобедренный, са = ос. са = 18 : 2 = 9 (т.к. высота ос в равнобедренном тр-нике aob является и медианой, и биссектрисой). ответ: 9см - расстояние от точки о до хорды аb.
В решении используем свойства вписанных углов и подобных треугольников. АС - биссектриса. Равные углы ВАС и САD опираются на равные дуги ВmС и СmD Но на дугу СmD опирается и угол DВС, следовательно, он равен углу ВАС. В треугольниках АВС и ВКС имеется общий угол ВСА и равные углы СВК и ВАС Следовательно, они подобны по двум углам. Из подобия следует АС:ВС=ВС:КС ВС²=АС*КС 16=(6+х)*х х²+6х-16=0 Решив квадратное уравнение, получим два корня: 2 и -8. Отрицательный корень не подходит. Следовательно, КС=х=2
Разрежем 4 угольник как показано на рисунке а именно:
Проведем диагональ AC на ней отмечаем точку G. Проводим GB.
Итак вышло 3 треугольника: ABG BGC ADC (так мы их и разрежем)
ПО условию площадь хотя бы одного треугольника равна 1.
Предположим что площадь либо одного из треугольников
ABG и BGC либо их обоих равна 1. А площадь ADC не равна 1.
Тогда проведем еще 1 отрезок BG'.
Так что BG не равен G'C то естественно площади обоих треугольников изменились при смещении точки G (тк изменились длинны оснований,а высота у всех этих треугольников общая)
Но тогда площади обоих треугольников ABG' и BG'C уже не равны 1.
Но тогда тк из условия хотя бы 1 из площадей равен 1. То площадь ADC равна 1,но это противоречит условию тк при первом разрезании его площадь не была 1.(а треугольник ADC тот же) То мы пришли к противоречию. То раз только среди треугольников ABG BGC не может быть равного 1 площади. То площадь треугольника ADC равна 1.
Анологично в силу симетрии задачи можно доказать что площади всех треугольников: ABC, BCD, ADC ,ABD- равны 1
Посмотрим на 2 рисунок:
У пары треугольников (ADC,BСD) и (ABC ,DBC)
Проведем в каждой паре треугольников высоты на стороны соответственно DC и BC .
Тк треугольники в каждой паре равновеликие (тк все равны 1),а площадь треугольника 1/2осн*высоту. То раз они имеют общие основания. То высоты в каждой паре равны. А тк понятно что если AL и A'L' 2 равных перпендикуляра к прямой Ф.
То прямые Ф и AA' паралельны.
То без ограничений общности выходит что: AB паралельно DC
AD параллельно BC. То есть это параллелограмм.
Тк SADC=SABC=1 то площадь параллелограмма равна 2
Что и требовалось доказать.