Question

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскотью основание пирамиды угол 45°. найти высоту и площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Правильная пирамида SABCD, значит основание  ABCD- квадрат, у которого O- точка пересечения диагоналей (центр описанной окружности)
Т.к. боковое ребро  SA обазует с плоскостью основания <SAO=45, то в прямоугольном ΔSAO <АSO=180-90-45=45, значит треугольник равнобедренный  и катеты АО=SO.
Высота SO=AO=SA*sin<SAO=4*sin 45=2√2,
Найдем сторону основания АВ=АС/√2=2АО/√2=2*2√2/√2=4
Найдем апофему SE боковой грани SAB. Т.к. Δ SAB равнобедренный (боковые ребра SA= SB), то  SЕ - это высота, медиана и биссектриса этого треугольника
 SЕ=√( SA²-АЕ²)= √( SA²-(АВ/2)²)=√(4²-2²)=√12=2√3
Площадь боковой поверхности пирамиды:
S=P*SE/2=4AB*SE/2=4*4*2√3/2=16√3

Answer 2

$\alphaа = \frac{(n-2)*180}{n} = \frac{(4-2)*180}{4} =90а$
$h=sin \frac{ \alpha }{2} *b=sin45*b= \frac{ \sqrt{2} }{2} *4=2 \sqrt{2}$
Радиус описанной окружности основания
$R=cos45*b=2 \sqrt{2}$
Определим сторону основания
$a=2R*cos \frac{180а}{n} =2R*cos45=2*2 \sqrt{2} * \frac{ \sqrt{2} }{2} =4$
Периметр основания
$P=a*n=4*4=16$
Радиус вписанной окружности основания
$r= \frac{a}{2} =2$
По т. Пифагора определим апофему
$f= \sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{8+4} =2 \sqrt{3}$
Тогда площадь боковой поверхности
$S(6ok)= \frac{p*f}{2} = \frac{16*2 \sqrt{3} }{2} =16 \sqrt{3}$

ответ: h = 2√2; S(бок)=16√3