Дано
прямоуг. трап. ABCD
AC | BD - диагонали
/ ACD = 60
Док-ть
BD=1/2(BC+AD)
Док-во
1) Рассм. тр. ACD
/ ACD = 60
/ ADC = 90 (AC | BD)
⇒ / CAD = 180-90-60 = 30
2) Рассм. тр. AOD
/ AOD = 90 (AC | BD)
/ DAO = 30
⇒ / ADO = 180-30-90 = 60
Значит OD=1/2*AD (в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)
3) Рассм. тр BOC
/ BOC = 90 (AC | BD)
/ OCB = 30 (по условию трап. прям. - / BCD = 90)
⇒ / CBO = 180-90-30 = 60
Значит BO=1/2*BC ((в прям. тр. с углами 30, 60, 90, катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы)
3) BD=BO+OD
BD=1/2*AD+1/2*BC = 1/2(AD+BC)
ч.т.д.
BD = √AD² - OC² * 2=√10² - 8² * 2 = 6 * 2 = 12
R = OM = AC * BD / 4 * AD = 16 * 12 / 4 * 10 = 24/5 = 4.8
OC / CM = 8 / (8-24/5) = 8/16/5 = 40/16 = 5 / 2
OB / EM = OC / CM
OB / EM = 5 / 2
EM = 2 * OB / 5 = 2 * 6 / 5 = 12 / 5
EF = 2 * EM = 12/5 * 2 = 24 / 5 = 4.2