На катете ас треугольника авс (угол с=90 градусов) как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу ав в точке d; bd=4 см, ad=9 см. найдите cd.
Вариант решения. Обозначим пирамиду МABCD, М- вершина пирамиды. О - центр основания, МН - апофема. ---------- Примем сторону основания равной 2а. Проведем КН через центр основания параллельно ВС. ОН⊥АВ ⇒ МН⊥АВ ( по т. о 3-х перпендикулярах), ⇒ ∠MHO=60° ∆ МОН - прямоугольный. МН высота Δ МАВ КН=ВС=2а, ОН=КН:2=а Высота МО=ОН•tg60°=a√3 Апофема МН=ОН:cos60°=2a
Площадь полной поверхности пирамиды S=S₁(осн)+S₂(бок) S₁=(2a)²=4a² S₂= 4•S∆MAB=4•MH•AB:2=8a² S(полн)=12а² 12а²=108⇒ а²=9⇒ а=3⇒ АВ=2а=6 см Формула объема пирамиды V=S•h:3 S=36 V=36•3√3:3=36√3 см³
Вариант решения. Обозначим пирамиду МABCD, М- вершина пирамиды. О - центр основания, МН - апофема. ---------- Примем сторону основания равной 2а. Проведем КН через центр основания параллельно ВС. ОН⊥АВ ⇒ МН⊥АВ ( по т. о 3-х перпендикулярах), ⇒ ∠MHO=60° ∆ МОН - прямоугольный. МН высота Δ МАВ КН=ВС=2а, ОН=КН:2=а Высота МО=ОН•tg60°=a√3 Апофема МН=ОН:cos60°=2a
Площадь полной поверхности пирамиды S=S₁(осн)+S₂(бок) S₁=(2a)²=4a² S₂= 4•S∆MAB=4•MH•AB:2=8a² S(полн)=12а² 12а²=108⇒ а²=9⇒ а=3⇒ АВ=2а=6 см Формула объема пирамиды V=S•h:3 S=36 V=36•3√3:3=36√3 см³
Выполнив чертеж, убедимся, что катет ВС - отрезок касательной, а ВА - секущая данной окружности. По теореме о секущей и касательной:
ВС квад = ВД * ВА = 4 * 13 = 52. Отсюда
ВС = 2кор13. Найдем cos В:
cosВ = ВС/АВ = (2кор13)/13.
Теперь рассмотрим треугольник ВDC: ВD=4; ВС=2кор13; cosB =2/кор13. Для нахождения CD применим теорему косинусов:
CDквад = 16 + 52 - 2*4*2кор13*2/кор13 = 68 - 32 = 36. Отсюда
CD= 6см.
ответ: 6 см.