<ABD=180°-85°-30°=65°. <B=<ABD+<CBD=65°+65°=130° Треугольник АВС равнобедренный (АВ=ВС - дано), значит <BCA=<BAC=(180°-130°):2=25° Итак, BО (О - точка пересечения диагоналей) в треугольнике АВС биссектриса, высота и медиана. Следовательно, диагональ BD перпендикулярна диагонали АС. Но если в треугольнике ADC DO - высота и медиана (АО=ОС - доказано выше), то он равнобедренный и <ACD=<CAD=60°, а <C=25°+60°=85°. Тогда <CDO=30° и <D=30°+30°=60°. ответ: <A=85°, <B=130°, <C=85° и <D=60°
1) Проведем другую диагональ АС. Точку пересечения диагоналей обозначим О. ΔАСD - равнобедренный АD= СD=2,9 см. DО - биссектрисса. ΔАОD=ΔСОD (по двум сторонам м углу между ними), значит АО=ОС. ΔАВО=ΔСВО , значит АВ=ВС=2,7 см. Периметр равен 2(2,7+2,9)=2·5,6=11,2 см. 2) Обозначим длину сторон: х; х-8: х+8; 3(х-8). По условию: х+х-8+х+8+3(х-8)=66, 6х-24=66, 6х=90, х=15. Стороны четырехугольника равны: 15 см, 23 см, 7 см, 21 см. 3) Проведем диагональ ВD. ΔАВD имеет углы 30° и 85° Значит ∠АВD =180-85-30=65°. ∠АВС=∠АВD+∠СВD=65°+65°=130°. Проведем другую диагональ АС. ΔАВС по условию равнобедренный: АВ=ВС. Значит углы при основании равны (180-130):2=25°. ∠САD=85-25=60°. Диагонали перпендикулярные, дают возможность вычислить углы прямоугольных треугольников, на которые диагоналями поделен четырехугольник АВСD. Углы четырехугольника: 95°, 50°, 130°, 85°.
Указанные в задании площади относятся как отрезки МD/DP, так как другой катет KD в указанных треугольниках - общий. Найдем указанные отрезки.
Сначала найдем PK:
PK = кор(100-36) = 8.
Теперь высота KD, опущенная на гипотенузу (h=ab/c):
KD = 8*6/10 = 4,8.
Теперь из треугольников KPD и KDM по теореме Пифагора найдем нужные нам отрезки DP и MD:
DP = кор(8кв-4,8кв) = кор(40,96) = 6,4.
MD= кор(6кв - 4,8кв) = кор(12,96) = 3,6.
Sтр.MKD / Sтр.KDP = MD/DP = 3,6/6,4 = 9/16
ответ: 9/16.