1) Проекция бокового ребра на основание - это половина диагонали квадрата основания.
То есть: d = 2*12*cos 60° = 24*(1/2) = 12 см.
Сторона основания а = d/√2 = 12/√2 = 6√2 см.
Площадь основания So = a² = 72 см².
Высота пирамиды равна: Н = 12*sin 60° = 12*(√3/2) = 6√3 см.
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*72*6√3 = 144√3 см³.
2) Проекция апофемы на основание - это (1/3) высоты основания.
Тогда высота основания h = 3*(Н/tg 60°) = 3*(2√3)/(√3) = 6 см.
Сторона основания а = 6/cos 30° = 6/(√3/2) = 12/√3 = 4√3 см.
Площадь основания So = a²√3/4 = 48√3/4 = 12√3 см².
Получаем ответ:
Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*(12√3)*(2√3) = 8*3 = 24 см³.
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе. Окружности, вписанной в правильный многоугольник - в точке пересечения биссектрис его углов.
На рисунке приложения АВ - сторона, АО=ВО - биссектрисы углов правильного многоугольника. ОН - радиус вписанной окружности,
tg∠ОВН=ОН:ВН=√3. ⇒ Угол ОВН=60°, угол многоугольника 120°, смежный с ним внешний угол равен 60°.
Сумма внешних углов многоугольника 360°. Количество внешних углов, взятых по одному при вершинах, равно числу сторон многоугольника.
Число сторон 360°:60°=6.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен его стороне.
R=8√3
C=2πR=16√3π