Question

Мне надо решение знайти об’єм правильної трикутної піраміди, якщо радіус кола, вписаного в основу піраміди, дорівнює r, а бічна грань утворює з площиною основи кут γ.

Answer 1

Сложность в том, что у меня нет возможности построить эту пирамиду, но поскольку тут проверяется масса формул, попробую объяснить без рисунка. Объем пирамиды равен произведению трети площади основания на высоту. Площадь основания - площадь правильного треугольника, равна а²√3/4, чтобы найти сторону основания а, надо связать ее формулой с радиусом вписанной в основание окружности, а₃=2r*tg(180°/3)=2r*tg60°=2r*√3, и тогда площадь основания 4*r²*3√3/4=r²*3√3;      высота основания, т.е. высота правильного треугольника равна а₃√3/2=2r*√3*√3/2=3r, а треть высоты равна проекции апофемы на плоскость основания, угол, образованный апофемой и этой проекцией, и есть данный в условии, угол γ, т.к. апофема перпендикулярна стороне основания, то по теореме о трех перпендикулярах и проекция ей перпендикулярна. Треть высоты основания равна  3r/3=r. Чтобы найти высоту пирамиды, надо проекцию апофемы умножить на tgγ, т.е. высота равна r*tgγ.

Объем пирамиды равен r²*3√3*r*tgγ/3=r в кубе √3*tgγ