1. Находим угол АОВ.
3х+5х=360
8х=360
х=45
Угол АОВ=3·45°=135°
2. Рассмотрим ΔАОВ-равнобедренный. АО=ОВ как радиусы.
угол МАО=угол МВО=(180°-135°)÷2=22°30'
3. Находим угол АОМ.
угол АОМ=угол АОВ-угол МОВ=135°-27°44'=107°16'
4. Рассмотрим ΔАОМ.
угол АМО = 180°-(угол МАО+угол АОМ) = 180°-(22°30'+107°16') = 180° - 129°46' = 50°14'
ответ. 50°14'
По свойству биссектрисы, она равноудалена от сторон которые её образуют.
Значит биссектриса из угла A равноудалена от сторон AD и AB, а биссектриса из угла B равноудалена от сторон AB и BC => точка пересечения биссектрис(P) равноудалена от сторон AB,AD и BC значит она лежит на средней линии трапеции (MN).
Аналогично точка Q лежит на средней линии трапеции.
-----------------
Рассмотрим треугольник ABP, как известно сумма односторонних углов трапеции=180°, значит сумма их половинок=90°.
Значит ∠APB=180-90=90°.
Аналогично ∠DQC=90°.
Отрезки PM и QN - это медианы опущенные из прямых углов, они равны половине гипотенузы.
---------------------
Искомый отрезок 
----------------------
ответ PQ=1
Решение
Объяснение:
Радиус вписанной в равнобедренную трапецию окружности равен половине ее высоты.
Назовем трапецию ABCD (BC ║ AB), проведем высоту CK к точке K.
Вписанная окружность прикасается к серединам сторон.
Обозначим эти середины: M (AB), L (BC), N (CD), F (AD).
Касательные, проведенные с одной точки равны:
BM = BL = CL = CN = 2
AM = AF = DF = DN = 18
CD = 2 + 18 = 20
Рассмотрим ΔCKD:
∠CKD = 90° (CK - высота)
KD = (AD - BC) / 2 = (36 - 4) / 2 = 32/2 = 16 (по свойству равнобедренной трапеции)
KD = 16
По теореме Пифагора:
CK² = CD² - KD²
CK = √(400 - 256) = √144 = 12
CK = 12
r = CK/2 = 12/2 = 6
r = 6 см
Угол АОВ = 360*3/8 = 135 гр
Угол АОМ = 135 - 27гр44" = 107гр16".
Пусть угол ОАМ = ОВМ = х
АМО = 180 - 1о7гр16" - х = х + 27гр 44"
2х = 45 гр.
х = 22гр30"
Тогда угол АМО = 22гр30" + 27гр44"= 50гр14"
ответ: 50гр14"