Через точку a проведены две касательные к окружности w; m и n - точки касания. известно, что am=6 и mn=5. найдите: а) радиус окружности б) длину дуги окружности w, находящейся вне треугольника amn
а) Проведем АО (О - центр окр.).Пересечение АО и MN - точка К. MK = KN = 2,5. Пусть ON = OM = R. Тогда:
Из пр.тр-ка AON:
AO^2 - R^2 = 36 (AN = AM = 6).
AO*2,5 = 6R (гипотенуза умн. на высоту равна произведению катетов).
AO = 6R/2,5 = 2,4R
5,76R^2 - R^2 = 36
R = 6/кор4,76 = 2,75 (с точностью до 5-го знака после запятой)
ответ: 6/кор4,76 = 30/кор119 = 2,75 (специально даю разные вариации одного и того же ответа - первые два - точные, но громоздкие, последний - приближенный, но очень с высокой степенью точности).
б)Продлим АО до пересечения с другой точкой окр. w - точка В.
Итак необходимо найти длину дуги MNB. Сначала найдем угловую меру.
cos это прилежащий катет на гипотенузу,а cosA у нас 4/5, следовательно, АС=4,АВ=5. Нам неизвестна сторона ВС, чтобы найти эту сторону воспользуемся теоремой Пифагора,которая звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следовательно получается :АВ^=BC^+AC^; 5^=BC^+4^; 25=16+АС^; AC^=25-26; AC^=9; AC=+,-3, НО ТАК КАК ОТВЕТ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ , МЫ БЕРЕМ 3. (это действие необязательно было делать, просто для общего развития). Найдем sinB, что такое вообще синус, это противолежащий катит на гипотенузу, следовательно, sinB=4/5, 4/5=0,8 =
1. tg A = BC / AC найдем BC по теореме Пифагора BC^2 = корень из 109 в квадрате - 10 BC^2 = 109 - 100 BC^2 = 9 BC = 3 tg A = 3/10 tg A = 0.3
2. sin A = CH / CA Найдем CA по теореме Пифагора CA^2 = CH^2 + AH^2 ( поскольку CH - высота, то она делит основание AB пополам, отсюда AH = 15/2 = 7.5 ) CA^2 = 12^2 + 7.5^2 CA^2 = 144 + 56.25 CA^2 = 200.25 CA = корень из 200.25 sin A = 12 / корень из 200.25
3. сперва найдем сторону BC Sin A = BC / AB 2/5 = BC / 40 через пропорцию получаем 5BC = 40 * 2 BC = 80 / 5 BC = 16 Теперь найдем высоту CH cos C = CH/BC поскольку CH - высота, а угол С прямой, по условию, то угол BCH = 90/2 = 45 гр cos 45 = СH / 16 CH = 8 корей из 2 Поскольку CH - высота, т.е перпендикуляр, опущенный на AB, то треугольник HBC - прямоугольный, угол H - 90 гр. Теперь найдем HB по теореме Пифагора HB^2 = 16^2 - 8 корней из 2 в квадрате HB^2 = 256 - 128 HB^2 = 128 HB = корень из 128
а) Проведем АО (О - центр окр.).Пересечение АО и MN - точка К. MK = KN = 2,5. Пусть ON = OM = R. Тогда:
Из пр.тр-ка AON:
AO^2 - R^2 = 36 (AN = AM = 6).
AO*2,5 = 6R (гипотенуза умн. на высоту равна произведению катетов).
AO = 6R/2,5 = 2,4R
5,76R^2 - R^2 = 36
R = 6/кор4,76 = 2,75 (с точностью до 5-го знака после запятой)
ответ: 6/кор4,76 = 30/кор119 = 2,75 (специально даю разные вариации одного и того же ответа - первые два - точные, но громоздкие, последний - приближенный, но очень с высокой степенью точности).
б)Продлим АО до пересечения с другой точкой окр. w - точка В.
Итак необходимо найти длину дуги MNB. Сначала найдем угловую меру.
MBN = 2П - MON = 2П - х. х = ?
Из тр-ка MON:
sin(x/2) = 2,5/R = 2,5/2,75 = 10/11 = 0,91
x = 2arcsin(0,91)
MBN = 2П - 2arcsin(0,91) радиан
Длина дуги:
{[2П - 2arcsin(0,91)]/2П} * 2ПR = 2ПR - 2Rarcsin0,91 = 2R(П - arcsin(0,91)) =
=5,5*(П - 1,14) = 11
ответ: 5,5(П - arcsin(0,91)) = 11.