Question

Диаметр шара равен 20 .через его конец под углом 45°к нему проведена плоскость.найдите площадь полученного сечения.

Answer 1

$S$ данного сечения = $50\pi$ ед.кв.

Объяснение:

Пусть будет дан шар с центром в точке $O.$

$AB = 20$ ед.

Через точку $B$ проведём плоскость под углов $45^{\circ}.$

Пусть будет плоскость с центром в точке $O_1$.

Тогда $\angle ABO_1 = 45^{\circ}.$

========================================================

Так как $AO$ и $OB$ - радиусы данного шара $\Rightarrow AO = OB.$

Радиус шара равен половине его диаметра.

Т.е. $AO = OB = AB : 2 = 20 : 2 = 10$ ед.

$OO_1$$\perp O_1B$, так как $OO_1$ - серединный перпендикуляр.

$\Rightarrow \triangle OBO_1$ - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ}.$

$\Rightarrow \angle O_1OB = 90^{\circ} - \angle ABO_1 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}.$

Так как $\angle O_1OB = \angle ABO_1 = 45^{\circ} \Rightarrow \triangle OBO_1$ - равнобедренный.

$\Rightarrow OO_1 = O_1B.$

Пусть $x$ - $OO_1$ и $O_1B.$

По теореме Пифагора:

$OO_1^{2} + O_1B^{2} = OB^{2}$

$x^{2} + x^{2} = 10^{2} \\2x^{2} = 100\\x^{2} = 50\\x = \pm 5\sqrt{2}\\$

$-5\sqrt{2}$ - отрицательное число, поэтому не подходит.

$\Rightarrow x = 5\sqrt{2}$

$5\sqrt{2}$ ед. - $OO_1, O_1B.$

$S$ данного сечения = $S$ круга = $\pi \cdot O_1B^{2} = \pi \cdot (5\sqrt{2} )^{2} = 50\pi$ ед.кв.