1) сумма вертикальных углов равна трети прямого угла. найдите эти углы. 2) два данных угла относятся как 1: 3, а смежные с ними — как 4: 3. найдите данные углы.
1) Сумма вертикальных углов равна трети прямого угла. Найдите эти углы.Пусть один угол равен х, так как вертикальные углы равны, то и другой угол х, Их сумма 2х = 2/3·(90°) ⇒х=30° (разделим уравнение на 2, справа 90/3=30) ответ 30° 2) Два данных угла относятся как 1:3, а смежные с ними — как 4:3. Найдите данные углы. Обозначи. один данный угол х, второй 3х, тогда смежные к ним (180-x) и (180-3x) cоответственно (180-х) : (180-3х) = 4:3 - пропорция. Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, поэтому 3(180-х)=4(180-3х) 540-3х=720-12х 12х-3х=720-540 9х=180 х=20 ответ. Один угол 20°, второй 60° 20°:60°=1:3 Смежный углу в 20° равен 160° Смежный углу 60° равен 120° 160°:120°=4:3
Пусть H - высота пирамиды PABCD, основание которой - ромб ABCD с углом 30o при вершине A, PM - перпендикуляр, опущенный на сторонуBC. По теореме о трех перпендикулярах HM  BC. Значит, PMH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью BCP и плоскостью основания ABCD. Поэтому PMH = 60o.
Опустив перпендикуляры из вершины P на остальные стороны ромба и рассмотрев полученные прямоугольные треугольники с общим катетом PH и противолежащим углом, равным 60o, докажем, что точка Hравноудалена от всех четырех прямых, содержащих стороны ромба ABCD. Поэтому H - центр окружности, вписанной в этот ромб, т.е. точка пересечения его диагоналей.
Опустим перпендикуляр BF из вершины ромба на сторону AD. Тогда BF= 2r. Из прямоугольного треугольника ABF находим, что AB = 2 . BF = 4r. Значит,
S(ABCD) = AD . BF . sin 30o = AB . BF . sin 30o= 8r2.
Диагонали образуют с меньшей стороной треугольник, назовём его АВС, причем две его стороны равны, потому что они являются частями диагоналей, а точкой пересечения диагонали делятся пополам. Если две его стороны равны, значит, треугольник равнобедренный. угол АВС=60 (причём В-точка пересечения диагоналей), потому что напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Мы уже поняли, что наш треугольник равнобедренный. Мы знаем, что угол при вершине=60°, а углы при основании равны, сумма уголов треугольника=180°,значит, угол при основании=(180-60)/2=60 оба угла при основании равны 60, угол при вершине равен 60, значит, наш треугольник равносторонний, т.к. его углы равны, значит, стороны тоже равны, а равны они 4, т.к. по условию меньшая сторона прямоугольника равна 4, а она является и стороной в нашем треугольнике, значит половина диагонали равна 4, т.к. сторона в нашем четырёхугольнике равна половине диагонали ( в начале говорили, что точкой пересечения диагонали делятся пополам, а точка пересечения - одна из вершин нашего треугольника). значит, диагональ равна 4×2=8.
ответ 30°
2) Два данных угла относятся как 1:3, а смежные с ними — как 4:3. Найдите
данные углы.
Обозначи. один данный угол х, второй 3х, тогда смежные к ним (180-x) и (180-3x) cоответственно
(180-х) : (180-3х) = 4:3 - пропорция.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних, поэтому
3(180-х)=4(180-3х)
540-3х=720-12х
12х-3х=720-540
9х=180
х=20
ответ. Один угол 20°, второй 60°
20°:60°=1:3
Смежный углу в 20° равен 160°
Смежный углу 60° равен 120°
160°:120°=4:3