Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см. а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45°.
Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
Для решения нужно знать сторону основания и апофему ( высоту боковой грани).
См. рисунок, данный в приложении.
По условию АН=3 см,∠МНО=45°
Центр основания пирамиды является центром вписанной в него окружности с радиусом ОН.
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты.
r=ОН=1/3 АН=1 (см)
⊿ МНО прямоугольный, МH=OH:cos45°=2:√2=√2
Все углы ∆ АВС=60°
ВС=АС=АВ=АН:sin 60°
BC=3•2:√3=2√3
По формуле площади правильного треугольника S=a²√3):4
S (осн)={(2√3)²•√3}:4=3√3 (см²)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
S (бок)=МН•(АВ+ВС+АС):2
S (бок)=√2•3•(2√3):2=3√6 (см²)
S (полн)=3√3+3√6= 3√3(1+√2) ≈12,54 см²
Дано:
A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=2(см).
AB=BC=CD=AD=8(см).
S(площадь)сечения=S(AA1C1C)=20(см.квадрат).
Найти:
h(высоту правильной четырёхугольной пирамиды).
Во-первых:
Рассмотрим нижнее основание ABCD.
Теперь по теореме Пифагора найдём диагональ квадрата ABCD:
AC(квадрат)=AD(квадрат)+DC(квадрат);
AC=√8(квадрат)+8(квадрат)
AC=8√2(см).
Во-вторых:
Верхнее основание A1B1C1D1
Теперь опять-же по теореме Пифагора найдём диагональ квадрата:
A1C1(квадрат)=A1D1(квадрат)+D1C1(квадрат);
A1C1=√2(квадрат)+2(квадрат)=2√2(см)
Ну и третье:
Сечение AA1C1C - оно диагонально, выглядит как равнобедренная трапеция.
Площадь трапеции мы уже знаем по формуле:
Sтрап.=a+b/2*h
То есть:
S(сечения)=A1C1+AC/2*h
Теперь подствим всё известное и найдём наконец-то h:
20=2√2+8√2/2*h
40=10√2*h
h=40/10√2=4/√2=4*√2/√2*√2=4√2/2=2√2(см).
h=2√2(см).
Обозначим DK=2х, КР=3х
Тогда DP = DK+KP=2x+3x=5x
Из подобия следует пропорциональность сторон:
КМ: AD= KP: KD
или
КМ: 15= 3х: 5х
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
5х·КМ=15·3х
КМ=9