Отрезки пересекаются в их общей середине. Докажите, что .
Дано:.
Доказать: .
Доказательство:
Тогда, по первому признаку равенства треугольников, .
Тогда .
Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых и секущей , то по первому признаку параллельности прямых , что и требовалось доказать.
Задача 1: отрезки и пересекаются в точке и делятся этой точкой пополам. Доказать параллельность и .Треугольники и равны по первому признаку равенства треугольников. и по условию. как вертикальные. Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих элементов. (накрест лежащие углы). Следовательно, прямые и параллельные. , что и требовалось доказать.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АН1В и СН2В. Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, выразим углы АВН1 и СВН2:
<ABH1=90-<A, <CBH2=90-<C, но
<A=<C как противоположные углы параллелограмма, следовательно
<ABH1=<CBH2.
Используем один из признаков равенства прямоугольных треугольников: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равен катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны. В нашем случае:
- ВН1=ВН2 по условию;
- углы АВН1 и СВН2 равны как показано выше.
Значит, треуг-ки АН1В и СН2В равны, и АВ=СВ=СЕ=АЕ. Параллелограмм, у которого все стороны равны - ромб. АВСЕ - ромб.
Проведем СН - высоту прямоугольного треугольника АВС.
Тогда АН = 3 см, ВН = 12 см по условию.
По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
СН² = AH · BH = 3 · 12 = 36
CH = 6 см
Из прямоугольного треугольника АСН по теореме Пифагора:
АС = √(АН² + СН²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 см
Из прямоугольного треугольника ВСН по теореме Пифагора:
ВС = √(ВН² + СН²) = √(144 + 36) = √180 = 6√5 см
АВ = АН + ВН = 3 + 12 = 15 см