Впрямоугольнике abcd биссектриса угол а пересекает сторону bc в точке e.отрезок be больше eс в 3 раза.найти стороны прямоугольника,если периметр abcd равен 42 см распишитесь по теорему)заранее !
Т.к АЕ-биссектрисса и АВСД - прямоугольник, то угол ВАЕ=45 (90/2). Получившийся треугольник АВС - прямоугольный (угол В=90 гр). Тогда угол ВЕА=180-90-45=45 гр. Т.к. углы ВЕА и ВАЕ =45 гр, то треугольник АВЕ равнобедренный. Пусть ЕС будет х, тогда ВЕ будет 3х (в 3 раза длиннее). Тогда ВС=3х+х=4х и АД=4х, т.к АВСД - прямоугольник. Треугольник АВЕ - равнобедренный (как доказали выше), тогда АВ=ВЕ=3х. Но АВ также равно СД (АВСД прямоугольник). Получаем: 3х+4х+4х+3х=42 см 14х=42 х=3см Следовательно: АД=ВС=4*3=12 см АВ=СД=3*3=9 см
Наиболее очевидный частный случай, если трапеция равнобедренная. решения для этого случая выше. рассмотрим вариант с прямоугольной трапецией. пусть высота (она же одна из сторон) равна х, вторая сторона у. тогда периметр х+у+9+15=34 => х+у=10 теперь рассмотрим треугольник, который образует сторона, не образующая прямой угол с основанием, высота опущенная из точки пересечения этой стороны с малым основанием на большое основание и отрезок между этой высотой и и точкой пересечения этой стороны с большим основанием (треугольник cdh, см рисунок). hd=ad-ah, т. к. ан=вс=9, а ad=15, то hd=15-9=6 по теореме пифагора: cd^2=ch^2+hd^2 или cd^2-ch^2=hd^2 т. е. у^2-x^2=36 решаем систему уравнений: { х+у=10 {у^2-x^2=36 например, таким способом: домножаем первое уравнение на (х-у) и складываем его со вторым. получаем уравнение: 10(х-у) -36=0, откуда х-у=3,6. складывая его с первым уравнением, получаем 2х=13,6 т. о. х=6,8 s=((a+b)/2)*h а=9; b=15; h=x=6,8 s=((9+15)/2)*6.8=81.6
а AB и CD это 3х
Итого 3х+4х+3х+4х=42 см
14х=42
х=3
Соответственно стороны 9 см и 12 см
Треугольник ABE прямоугольный и равнобедренный отсюда сторона AB=BE