Question

Даны точки а(0,1,2), в(корень из 2,1,2), с(корень из 2,2,1 и d(0,2,1). докажите,что авсd - квадрат. доказать, но только не через доказательство того,что стороны равны и не через доказательство того,что диагонали равны и препендикулярны, а каким нибудь другим надо.

Answer 1

$\overrightarrow{AB}( \sqrt{2}-0;1-1;2-2) =\overrightarrow{AB}( \sqrt{2};0;0); \\ \overrightarrow{BC}( \sqrt{2}- \sqrt{2} ;2-1;1-2) =\overrightarrow{BC}( 0;1;-1); \\ \overrightarrow{CD}( 0-\sqrt{2};2-2;1-1) =\overrightarrow{CD}(- \sqrt{2};0;0); \\ \overrightarrow{DA}(0-0;1-2;2-1) =\overrightarrow{DA}( 0;-1;1);$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \sqrt{2}\cdot 0+0\cdot1+0\cdot(-1)=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CD}= 0\cdot (-\sqrt{2})+1\cdot0+(-1)\cdot 0=0\Rightarrow \overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{CD}$
$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}= (-\sqrt{2})\cdot 0 +0\cdot (-1)+0 \cdot 1=0\Rightarrow \overrightarrow{CD}\perp \overrightarrow{DA}$
$\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{AB}= 0\cdot \sqrt{2} +(-1)\cdot 0+1 \cdot 0=0\Rightarrow \overrightarrow{DA}\perp \overrightarrow{AB}$

Значит у четырехугольника четыре угла по 90°.
Противоположные стороны параллельны
ВС || AD    и  AB || DC, так как соответствующие векторы коллинеарны,а их  координаты пропорциональны.
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=√2
 ABCD- квадрат