Question

Впрямоугольном треугольнике авс из вершины с прямого угла проведена высота ск. радиусы окружностей, вписанных в треугольники авс, аск и вск, равны соответственно г, г1 и г2. найдите длину высоты ск.

Answer 1

Положим что $ABC=a$  
$AC=x\\ BC=y\\ CK=z\\$
Тогда из соответственных прямоугольных треугольников, получим 
$y=\frac{z}{sina}\\ x=\frac{z}{cosa}$      
$y=\frac{KB}{cosa}\\ x=\frac{AK}{sina}$             
$AK=x*sina \\ KB=y*cosa$
откуда 
$AK=z*tga\\ KB=z*ctga$
По формуле $r=\frac{x+y-c}{2}$ где $c$      гипотенуза , из соответствующих прямоугольных треугольников 
 $z+z*tga-\frac{z}{cosa}=2r_{1}\\ z+z*ctga-\frac{z}{sina}=2r_{2}\\ \frac{z}{sina}+\frac{z}{cosa} - \sqrt{\frac{z^2}{sin^2a}+\frac{z^2}{cos^2a}}=2r \\\\$
Откуда 
$z=\frac{2r_{1}}{tga-seca+1}\\ z=\frac{2r_{2}}{ctga-csca+1}\\ z=r(sina+cosa+1)\\\\$
 $z=r(sin(arctg(\frac{r_{1}}{r_{2}})+cos(arctg(\frac{r_{1}}{r_{2}}))+1) \\\\ CK=r(\frac{\frac{ r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}{ \sqrt{\frac{r_{1}^2}{r_{2}^2}+1}}+1 })\\$