BD – биссектриса Δ ABC. На ее продолжении выбрана точка K так, что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC
АК║ВС. ВК секущая при этих параллельных прямых, и угол СВК=углу ВКА как накрестлежащие. Угол АВК=углу КВС, т.к. ВD - биссектриса. ⇒ угол АВК=углу АКВ ⇒ треугольник ВАК - равнобедренный. АВ=АК. Но DК=АВ по условию. Следовательно, и треугольник АКD - равнобедренный. АС - секущая при параллельных ВС и АК, и углы ВСА и САК равны как накрестлежащие. В равнобедренном треугольнике АКD угол DАК=углу АDК Но угол ВDС треугольника ВDС, как вертикальный, равен углу АDК. ⇒ угол ВDС=углу ВСD Треугольник DВС - равнобедренный и ВD=ВС. Опустим из В на АС перпендикуляр ВН и вспомним теорему: Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую. АН проекция АВ на АС. DН - проекция ВD на АС АН=АD+DН, поэтому АН >DH. Следовательно, АВ>ВD. Но, как доказано выше, ВD =ВС. Следовательно, АВ>BC, что и требовалось доказать. ---------- [email protected]
Пусть O - центр данной окружности и AB - ее хорда. Обозначим через x1/5 угловой величины меньшей из дуг с концами в точках A и B. Тогда величина большей из дуг равна 7x, а так как объединение этих двух дуг есть полная окружность, 5x + 7x = 360°, откуда x = 30°. Следовательно, величина меньшего из углов AOBравна 150°, а тогда из рассмотрения равнобедренного треугольника ABO получаем, что угол BAO равен 15°. Касательная к окружности, проходящая через точку A, перпендикулярна радиусу OA и, следовательно, образует с хордой AB угол 75°.
Точка О очевидно(?) точка пересечения диагоналей данного параллелограмма, вектор MO+вектор FE+вектор OF+вектор EN=вектор MO+вектор OF+вектор FE+вектор EN=по правилу многоугольника=вектор MN
Далее вектор ME +вектор FM=вектор FM+вектор ME=по правилу треугольника=вектор FE
Так как MN и FE противоположные стороны даннного паралеллограмма, то длины векторов MN и FE равны, далее из определения параллелограмма как параллелограмма, они лежат на паралельных пряммых, и одинаково направлены, значит по определению равенства векторов вектор MN=вектор FE, что означает справедливость равенства данного в условии, что и требовалось доказать. Доказано
что DK=AB. При этом оказалось, что AK║BC. Докажите, что AB > BC
АК║ВС. ВК секущая при этих параллельных прямых, и угол СВК=углу ВКА как накрестлежащие.
Угол АВК=углу КВС, т.к. ВD - биссектриса. ⇒
угол АВК=углу АКВ ⇒
треугольник ВАК - равнобедренный.
АВ=АК. Но DК=АВ по условию.
Следовательно, и треугольник АКD - равнобедренный.
АС - секущая при параллельных ВС и АК, и углы ВСА и САК равны как накрестлежащие.
В равнобедренном треугольнике АКD угол DАК=углу АDК
Но угол ВDС треугольника ВDС, как вертикальный, равен углу АDК. ⇒
угол ВDС=углу ВСD
Треугольник DВС - равнобедренный и ВD=ВС.
Опустим из В на АС перпендикуляр ВН и вспомним теорему:
Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.
АН проекция АВ на АС.
DН - проекция ВD на АС
АН=АD+DН, поэтому АН >DH.
Следовательно, АВ>ВD.
Но, как доказано выше, ВD =ВС. Следовательно, АВ>BC, что и требовалось доказать.
----------
[email protected]