Угол между плоскостью основания и противолежащей вершиной другого основания - это угол ОКС. Поскольку все ребра перпендикулярны основаниям, то треугольник КОС - прямоугольный с прямым углом С. И поскольку угол ОКС = 30 градусов, то катет ОС равен половине гипотенузы ОК как катет, что лежит против угла 30 градусов. ОК = 2СО = 6*2 = 12 см. Из теоремы Пифагора: CK^2 = OK^2 - OC^2, CK^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108, CK = 6 корней из 6. Из правильного треугольника АВС: высота СК = 6 корней из 3, которая является также и медианой, поэтому АК = КВ = СВ/2. Из прямоугольного треугольника СКВ: угол СВК = 60 градусов как угол правильного треугольника. По теореме синусов: СК/sin(CBK) = CB/sin(CKB), CB = 12. Площадь треугольника равна 36 корней из 3 см^2. Объем призмы равен площади основания, умноженного на высоту: V = So*H = S(ABC)*OC = 108 корней из 3 см^3.
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Отрезок FB перпендикулярен плоскости квадрата AВСD, значит перпендикулярен прямым АВ, ВС и BD, лежащим в плоскости. Так как отрезок FB пересекает их, то расстояние до сторон АВ и ВС, а так же и до диагонали BD равно длине отрезка FB и равно 8 дм.
ВА⊥AD как стороны квадрата, ВА - проекция наклонной FA на плоскость АВС, значит FA⊥AD по теореме о трех перпендикулярах. Значит, FA - расстояние от точки F до прямой AD. Из ΔABF по теореме Пифагора: FA = √(AB² + FB²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5 (дм)
ВС⊥CD как стороны квадрата, ВС - проекция наклонной FС на плоскость АВС, значит FС⊥СD по теореме о трех перпендикулярах. Значит, FС - расстояние от точки F до прямой СD. ΔАBF = ΔCBF по двум катетам (АВ = ВС как стороны квадрата, BF - общая), тогда FC = FA = 4√5 дм.
ВО⊥АС, так как диагонали квадрата перпендикулярны, ВО - проекция FO на плоскость АВС, значит FO⊥AC по теореме о трех перпендикулярах. FO - расстояние от точки F до прямой АС. ВО = BD/2 = 4√2/2 = 2√2 дм как диагональ квадрата, Из ΔFBO по теореме Пифагора: FO = √(FB² + BO²) = √(64 + 8) = √72 = 6√2 дм
n²-n-2=0 (n-2)(n+1)=0 n=2 n= -1