Question

Нужно решение. дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. отношение длины описанной окружности к длине вписанной окружности равно 2√5. найдите углы трапеции

Answer 1

Трапеция $ABCD$ $AD,BC$ нижнее и верхнее основания соответственно  $a,b$. 
Положим что основания трапеций равны $a,b$, боковая сторона $c$ 
Так как в нее можно вписать  окружность , то $a+b=2c$ .  
Угол $CDA = x$ 
По теореме косинусов получим 
$a^2-2ac*cosx=b^2+2bc*cosx\\ a^2-b^2 = 2c*cosx*(b+a)\\ cosx= \frac{a-b}{a+b}$ 
$AC=\sqrt{a^2+(\frac{a+b}{2})^2-2a*\frac{a+b}{2}*\frac{a-b}{a+b}}\\ AC=\sqrt{\frac{a^2+6ab+b^2}{4}}$ 
  
 Рассмотрим треугольник 
  $ACD$ он описанный , тогда по тереме синусов 
  $R=\frac{\frac{\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{2}}{ 2*\sqrt{1- \frac{a-b}{a+b}}^2 }\\ R=\frac{ (a+b)\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{ab} * \frac{1}{4} \\$
 $r=\sqrt{c^2-\frac{ (a-b) ^2}{4}} * \frac{1}{2}= \sqrt{ (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2}*0.5 = \sqrt{ab}*\frac{1}{2}$
 
 
$\frac{R}{r} =2\sqrt{5}\\ \frac{ (a+b)^2 *(a^2+6ab+b^2)}{a^2b^2}=320 \\ b=4\sqrt{3}a+7a\\ cosx=\frac{1-4\sqrt{3}-7}{1+4\sqrt{3}+7} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=150а$ 
 $150;30$
 
  
  
 ответ