. Тогда абсцисса середины отрезка x=t/2, а ордината середины 
. Отсюда t=2x. Подставляем это в y и получаем, что x и y связаны соотношением 
. Т.е. середина отрезка описывает дугу окружности с центром в вершине прямого угла, и радиусом в половину длины отрезка.
BD1 и BC1.
Привяжем систему координат к вершине В. Тогда имеем точки
В(0;0;0), D1(2;2;2) и С1(2;0;2).
1. Cкалярное произведение векторов BD1,BC1.
(a,b)=x1*x2+y1*y2+z1*z2. В нашем случае:
Вектор BD1={2;2;2}, а вектор ВС1={2;0;2}.
(BD1,BC1)=4+4=8.
Скалярное произведение можно записать еще так:
a•b=|a|•|b|*cosα.
В нашем случае: |BD1|=√(2²+2²+2²)=2√3.
|BC1|=√(2²+0+2²)=2√2.
Cosα = (4+0+4)/(2√3*2√2)=√6/3.
Скалярное произведение (BD1,BC1)=4√6*√6/3=8.
2. Определение: "Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b". Находится по формуле:
a*b =|i j k |
|ax ay az| = i(aybz-azby)-j(axbz-azbx)+k(axby-aybx).
|bx by bz|
a*b={aybz-azby;azbx-axbz;axby-aybx}.
В нашем случае:
(BD1*BC1) = {4-0;4-4;0-4} = {4;0;-4}.
итак, векторным произведением векторов BD1 и BC1 является вектор
(BD1*BC1)={4;0;-4}, а его длина (модуль)
|BD1*BC1| = √((16+16) = 4√2.