Первые впечатления
Переночевав в гостинице в Гуаякиле, мы сели к агенту в машину и поехали на судно в Пуэрто Боливар. Доехали вопреки ожиданиям быстро, примерно за 3-4 часа. Погода была пасмурная и даже не смотря на то, что мы находимся недалеко от экватора, было прохладно. Почти все время, пока мы ехали, по обе стороны дороги были банановые плантации, но все равно в голове не укладывается: эти бананы грузят на суда в нескольких портах Эквадора десятками тысяч тонн каждый день, круглый год. Это ж несчастные бананы должны расти быстрее чем грибы.
Дороги.
Дороги в Эквадоре практически идеальные, хотя населенные пункты выглядят очень бедно. На дорогах много интересных машин, например очень много грузовиков - древних Фордов, которые я никогда раньше не видел. А еще несколько раз на глаза попадались старенькие Жигули :) А еще если кого-то обгоняешь и есть встречная машина, она обязательно включает фары. На больших машинах - грузовиках и автобусах, обязательно
ответ: а) 6/√5 (ед. длины). б) 108/√5=21,6√5 (ед. площади)
Объяснение: Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на биссектрисе его угла.⇒ АН - биссектриса угла ВАD, О - центр окружности. ОК и ОЕ - радиусы, проведенные к точкам касания. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. АК=АЕ; DE=DH; FK=FH
Примем АК=АЕ равным х. Тогда ЕD=DH=9-х.
а) Рассмотрим рисунок приложения. Угол AFD=∠CDF (накрестлежащие при FA||CD и секущей FD) Но ∠CDF=∠ADF (DF- биссектриса ) ⇒ ∠АFD=∠FDA. ⇒ ∆ FAD – равнобедренный и AF=AD=9.
АН - биссектриса угла равнобедренного треугольника, ⇒ АН – его высота и медиана ( свойство). ⇒ FН=НD=9-х
Аналогично в ∆ КАЕ биссектриса АМ равнобедренного ∆ АКЕ - медиана и высота. ⇒ КМ=МК=4:2=2.
Прямоугольные ⊿ МАЕ и ⊿ НAD подобны по общему острому углу при А. Из подобия следует отношение DH:ЕМ=DA:ЕА.
т.е. (9-х):2=9:х., откуда получаем х²-9х+18=0. По т.Виета х₁+х₂=-(-9)=9; х₁•х₂=18 ⇒ х₁=3; х₂=6
По условию АЕ< AD, поэтому АЕ=3, ED=6
Из ⊿ АНD по т.Пифагора АН=√(AD*-DH*)=√(81-36)=3√5
⊿ АОЕ и ⊿ АDH подобны по общему углу при вершине А, из чего следует ОЕ:DH=AE:AH ⇒ r=AE•DH:AH =3•6:3√5.=6/√5.
б) При условии, что окружность касается стороны BC параллелограмма, диаметр РЕ окружности, вписанной в угол ВАD, будет высотой параллелограмма. S=h•a=2r•AD=(12/√5)•9=108/√5. = 21,6√5 (ед. площади)
А1С и МN - скрещивающиеся прямые — "прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или, другими словами, это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными". Поместим начало координат в точку В (или любую другую вершину куба). Для удобства вычислений примем сторону куба равной 4, так как точка М делит сторону АА1 на части З и 1. Тогда имеем:
Точки А1(0;4;4), С(4;0;0), М(0;3;4) и N(2;0;0).
Вектора А1С(4;-4;-4) и МN(2;-3;-4} (координаты вектора равны разности координат КОНЦА и НАЧАЛА вектора).
Модули векторов (модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²+z²) : |А1С| = √(16+16+16) = 4√3. |МN| = √(4+9+16) = √29.
Скалярное произведение векторов: (а,b)= х1*х2+у1*y2*+z1*z2. У нас: А1С*МN =6+12+16=36.
Косинус угла α между векторами а и b равен отношению скалярного произведения на произведение их модулей, то есть:
cosα = 36/(4√3*√29) = 9/√87.
ответ: косинус угла между прямыми МN и А1С равен 9/√87.
Вариант2. Геометрический.
А1С и МN - скрещивающиеся прямые.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между
пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Для его нахождения необходимо провести прямую, параллельную одной из двух скрещивающихся прямых так, чтобы она пересекала вторую прямую. Мы получим пересекающиеся прямые, угол между которыми равен углу между исходными скрещивающимися.
Проведем прямую М1С параллельно МN. Тогда точка N переместится в точку С, а точка М в точку М1, расположенную на прямой, параллельной ребру А1D1 на расстоянии 1/2 длины ребра от точки М. Тогда искомый угол - это угол А1СМ1. Его можно вычислить по теореме косинусов, найдя величины
отрезков ММ1, М1С и А1С. Cosα = (A1C²+M1C²-A1M1²)/(2*A1C*M1C).
Найдем искомые величины. Пусть наш куб - единичный куб с ребром =1.
Диагональ куба А1С = √3.
Гипотенуза прямоугольного треугольника МА1М1 равна √(МА1²+ММ1²). А1М1=√(1/16+1/4) =√5/4.
Найдем по Пифагору МВ =√(МВ2²+МВ²) = √(1+9/16) = 5/4.
Tогда MN = √(МВ²+ВN²) = √(25/16+1/4) = √29/4 = M1C. Все готово.
Cosα = (3+29/16-5/16)/(2*√3*√29/4) = 9/√87.
ответ: косинус угла между прямыми МN и А1С равен 9/√87.