Бісектриса кута а трика авс переимнає описане навколо нього коло в точці к. точка і - центр кола вписаного в трикутник авс кола. доведіть, що кі =кв =кс
Векторы AD и ВС равны, так как равны их модули (противоположные стороны параллелограмма) и они сонаправлены. Тогда мы можем найти модуль вектора АПС по теореме косинусов. |АС|=√(9+25+2*3*5*1/2) (так как угол АВС тупой) =7. Тогда косинус угла ВАС равен из этой же теоремы Cos(<BAC)= (a²+b²-c²)/(2ab) (угол образован сторонами а и b) или Cos(<BAC)=(9+49-25).(2*3*7)=0,786 (примерно). Угол по таблице равен 38,2°.
Или так: введем систему координат с точкой их пересечения в начале вектора А. Тогда имеем точки: А(0;0), В(1,5;3√3/2), С(6,5;3√3/2) Вектор AВ{1,5;3√3/2}, |AB| = 3. вектор АС{6,5;3√3/2}, |AC|=√(42,25+6,75)= √49=7. Угол между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на протзведение их модулей. Cos(<BAC)= (Xab*Xac+Yab*Yac)/(|AB|*|AC|) или Cos(<BAC)=(9,75+6,75)/(3*7) ≈ 0,786. <BAC ≈ 38,2°
|AB| =3 ;
|AD| =5 ;
α =∠(AB,AD)=180° -120° =60°. * * * α₁ =∠(BA, AD)=120°. * * *
φ =∠(AB,AC) -?
Скалярное произведение двух векторов :
a*b = |a|*|b|*cos∠(a,b) * * *a*a = |a|* |a|*cos∠(a,a) =|a|²*cos0 =|a|² * * *
AC =AB + AD ;
AC² =(AB +AD)² = AB² +AD²+2AB*AD =|AB|² +|AD|² +2*|AB|*|AD|*cosα=
3²+5²+2*3*5*cos60°=49 =7². ⇒ |AC| =7.
---
AB*AC =AB*(AB +AD) =AB*AB +AB*AD =|AB|²+|AB|*|AD|*cosα.
|AB|*|AC|*cos(∠(AB,AC) = |AB|*( |AB|+|AD|*cosα ) .
|AC|*cosφ = |AB|+|AD|*cosα .
7*cosφ =3+5*1/2 ⇒ cosφ =11 /14.
φ =arccos(11/14) .
ответ: arccos(11/14). * * * ≈ 38,2° * * *