Точка H1 симметрична ортоцентру H относительно середины стороны AC, HM=H1M
AHCH1 - параллелограмм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам), H1C||AA1 => H1C⊥BC, ∠BCH1=90
Аналогично ∠BAH1=90
ABCH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые), BH1 - диаметр.
Доказали свойство:
Tочка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны, лежит на описанной окружности и диаметрально противоположна вершине.
По свойству ортоцентра: H1 на описанной окружности, ∠BAH1=∠BCH1=90
AXHH1 - описанный (т.к. противоположные углы прямые) =>
∠XH1H =∠XAH =∠BAA1
Аналогично ∠YH1H =∠YCH =∠BCC1
∠BAA1 =90-∠B =∠BCC1 => ∠XH1H =∠YH1H
H1H - биссектриса и высота в △XH1Y, следовательно и медиана, XH=HY
Или
А, C1, A1, C на окружности диаметром AC
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам => H - середина PQ.
Теорема о бабочке:
Через середину хорды PQ проведены произвольные хорды AA1, CC1.
Хорды AC1 и CA1 пересекают хорду PQ в точках X и Y.
Тогда H - середина XY.
Меньший катет равен 30 см; высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 45 см.
Объяснение:
Задание
В прямоугольном треугольнике угол А равен 60 градусов, угол С - прямой. Длина гипотенузы равна 60см. Найти длину меньшего катета и длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.
Решение
1) Угол В равен:
90° - ∠А = 90 - 60 = 30°.
2) Катет АС, который лежит против угла В = 30°, равен половине гипотенузы:
АС = 60 : 2 = 30 см - это меньший катет, так как в треугольнике против меньшего угла лежит и меньшая сторона.
3) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, лежит против угла А = 60°, следовательно, угол между этим перпендикуляром и стороной АС равен 30°, и тот отрезок гипотенузы АВ, который примыкает к вершине А, равен половине стороны АС, то есть:
30 : 2 = 15 см.
Это значит, что второй отрезок гипотенузы равен:
60 - 15 = 45 см.
ПРОВЕРКА
Согласно теореме о перпендикуляре, опущенном из вершины прямого угла на гипотенузу: перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы, то есть должно выполняться равенство:
15 : АС = АС : 60
15 : 30 = 30 : 60
15 · 60 = 30² - значения равны, а это значит, что задача решена верно.
меньший катет равен 30 см;
высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на 2 отрезка - один из них длиной 15 см (примыкает к меньшему катету), а второй - длиной 45 см (примыкает к большему катету).
Если провести еще одну медиану ВВ1, то площадь каждой части, получившейся при пересечении медиан треугольника АВС, будет равна 1/6 его площади.
А так как треугольник АОС содержит 2 таких части, то его площадь равна 1/3 площади треугольника АВС.
Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.
АО=9:3*2=6 см
СО=12:3*2=8 см
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон, умноженной на синус угла между ними.
S АОС=0,5*АО*ОС*sin(30°)
S AOC=0,5*6*8*0,5
S AOC=12 см²
S АВС=3*S (АОС)=12*3=36 см²