1. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите объем пирамиды.
в правильной четырехугольной пирамиде четыре боковых грани
каждая грань -равнобедренный треугольник
K=10 см АПОФЕМА - высота боковой грани
основание - квадрат, со стороной - назовем -а
Апофема образует с плоскостью основания угол - назовем <A =60 градусов
проекция апофемы на плоскость основания отрезок- назовем k
k=K*cosA=10*cos60=5 см
отрезок k равен половине стороны квадрата k=a/2
Тогда сторона основания a =2k = 2*5=10 см
Тогда площадь основания So=a^2 =10^2=100 см2
по теореме Пифагора
высота пирамиды h^2=K^2-k^2=10^-5^2=75 ; h=5√3 см
Тогда объем пирамиды V=1/3 *So*h = 1/3*100*5√3 =500√3/3 м3
ответ 500√3/3 м3 или 500/√3 м3
Высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу из вершины прямого угла, равна 9:6·2= 3 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Найдем эти отрезки, обозначив один из них х, другой 6-х:
9=х(6-х)
9=6х-х²
3²= x *(6-x)
х²-6х+9=0
Решив это квадратное уравнение, найдем два одинаковых корня х=3
Следовательно, отрезки, на которые высота делит гипотенузу, равны, и треугольник - равнобедренный.
Высота равна 3, половина гипотенузы=3.
Из прямоугольного треугольника с катетами 3 и 3 найдем боковую сторону ( катет исходного треугольника)
х²=3²+3²=18
х= √18=3√2
Катеты равны 3√2
Проверка:
Площадь найдем половиной произведения катетов:
S= (3√2)·(3√2):2=9·2:2=9 cм²
