Question

Точка о - центр окружности, описанной около четырехугольника abcd. найти величины углов четырехугольника, если мера угла aob = 80 мера угла aod = 120 мера угла bco = 55

Answer 1

Если вписан, то сумма всех углов 360гр.Каждый из данных углов центральный,значит равен дуге на которую опирается.Найдем дугу CD
360-(80+120+55)=360-255=105
Каждый из углов четырехугольника вписанный,значит равен половине дуги на которую опирается.
<A=1/2(BC+CD)=1/2(105+55)=1/2*160=80
<B=1/2(AD+CD)=1/2(120+105)=1/2*225=112,5
<C=1/2(AB+AD)=1/2(80+120)=1/2*200=100
<D=1/2(AB+BC)=1/2(80+55)=1/2*135=67,5

Answer 2

Рассмотрим ΔAOD.
AO=OD (радиусы)
ΔAOD - равнобедренный
уголOAD =уголODA
уголOAD +уголODA=180 град - уголAOD=180 град-120 град=60 град
уголOAD =уголODA=60 град : 2 =30 град.

Рассмотрим ΔAOB.
AO=OB (радиусы)
ΔAOB - равнобедренный
уголABO= уголBAO
уголABO+ уголBAO=180 град -уголAOB=180 град-80 град=100 град
уголABO= уголBAO=100 град :2=50 град.
уголBAD=уголBAO+ уголOAD=50 град+30 град=80 град.

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 град.
уголBAD+уголBCD=180 град
уголBCD=180 град - уголBAD=180 град-80 град=100 град
уголBCD=уголBCO+уголOCD
уголOCD=уголBCD- уголBCO=100 град-55 град=45 град.

Рассмотрим ΔDOC
DO=OC (радиусы)
ΔDOC - равнобедренный
уголOCD= уголODC=45 град
уголADC= уголODA+ уголODC=30 град+45 град=75 град
уголADC+ уголABC=180 град
уголABC=180 град- уголADC=180 град-75 град=105 град

уголBAD=угол А=80 град
уголABC=угол B=105 град
уголBCD=угол C=100 град
уголADC=угол D=75 град