Из центра окружности О проведём радиусы ОМ, ОК, ОN.(смотри рисунок). При этом ОК перпендикулярна СД. Треугольники МОС и СОК равны как прямоугольные с общей гипотенузой ОС и катетами ОМ и ОК равными R. Аналогично равны треугольники NОД и КОД. Следовательно против равных сторон у них лежат равные углы тогда ОС и ОД будут гипотенузами углов С и Д соответственно. Углы ОСД и КОД равны. Поскольку угол ВСД=180-угол АДС, тогда угол ОСД=(180-угол АДС)/2=90-(угол АДС)/2=90-угол КДО. А это и есть угол КОД. Далее смотри рисунок.В конце проверено свойство трапеции в которую вписана окружность. Что подтверждает правильность решения. Кстати угол СОД для подобной трапеции всегда будет равен 90 при любых R. Поскольку угол МОN=180 и состоит из четырёх попарно равных углов. То есть угол МОС+уголNОД=уголСОК+уголКОД=90. Тогда можно СД найти по теореме Пифагора ОСквадрат+ОДквадрат=9+81=90. Отсюда СД=корень из90=3 корня из 10 или 30/(корень из 10).
Биссектрисы прямых углов АК и ДК со стороной АД образуют прямоугольный треугольник с прямым углом АКД. В этом прямоугольном равнобедренном треугольнике известен катет АК = ДК = 10, тогда АД = АК/cos 45° = 10/(1/√2) = 10√2.
Треугольники АКД и МКР подобны как прямоугольные равнобедренные треугольники. Стороны их соответственно пропорциональны и АД:МР = АК:КМ
или в цифрах6 10√2: 4√2 = 10:КМ, откуда КМ = 4.
Высоты Н₁ и Н₂ треугольников АКД и МКР составляют в сумме сторону АВ прямоугольника. найдём эти высоты.
Н₁ = АВ·cos45° = 10·0.5√2 = 5√2
Н₂ = КМ·cos45° = 4·0.5√2 = 2√2
Итого АВ = Н₁ + Н₂ = 5√2 + 2√2 = 7√2
Площадь прямоугольника АВСД равна
S = AB·АД = 7√2 · 10√2 = 70·2 = 140
ответ: S = 140
