В задании не указано, каким методом решить это задание - а их 2.
1) геометрический,
2) векторный.
1) Находим длины сторон.
АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √41 ≈ 6,40312.
BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √18 ≈ 4,24264.
AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √5 ≈ 2,236068.
Далее применяем теорему косинусов и находим углы треугольника.
cos A= АВ²+АС²-ВС² = 0,977802414
2*АВ*АС
A = 0,211093333 радиан
A = 12,09475708 градусов
cos В= АВ²+ВС²-АС² = 0,993883735
2*АВ*ВС
B = 0,110657221 радиан
B = 6,340191746 градусов
cos C= АC²+ВС²-АВ² = -0,948683298
2*АC*ВС
C = 2,819842099 радиан
C = 161,5650512 градусов.
2) Находим векторы АВ и АС:
АВ = (-4; 5), модуль примем с варианта 1: |AB| = √41.
АС = (-1; 2), |AC| = √5.
cos A = (-4*-1 + 5*2)/(√41*√5) = 14/√205 ≈ 0,977802414.
Вектор ВА = (4; -5), |BA| = √41,
BC = (3; -3), |BC| = 3√2.
cos B = (4*3 + -5*-3)/(√41*3√2) = 27/(3√82) 9/√82 ≈ 0,993883735.
Вектор СА = (1; -2), |CA| = √5,
CB = (-3; 3), |CB| = 3√2.
cos C = (1*-3 + -2*3)/(√5*3√2) = -9/(3√10) = -3/√10 ≈ -0,948683298.
Углы соответствуют найденным в пункте 1.
Треугольник MLN-равнобедренный,откуда ΔMLN=ΔMNL.
Поскольку 4 угольник KLMN-вписан в окружность,то углы опирающиеся на равные дуги равны: ΔMLN=ΔMKN=ΔMNL=ΔMKL=a. Откуда KM-биссектриса ΔLKN.
И наконец самое главное: раз центр вписанной окружности лежит на точке пересечения его биссектрис,то очевидно , что центр вписанной в треугольник KLN окружности лежит на биссектрисе KM. (Значит KM проходит через центр вписанной окружности).
И вот мы подобрались к истинному чуду этой задачи: проведем через центр вторую биссектрису LO. (Центр лежит и на биссектрисе ΔNLK соответственно).
Обозначим разбитые ей углы по b. Из суммы углов треугольника верно что :ΔLOK=180-(a+b) ,также ΔLOK смежный угол с ΔLOM.
Значит : ΔLOM=180-(180-(a+b))=a+b,но вот еще одна неожиданность:
ΔMLO=ΔMLN+ΔNLO=a+b. Опа ΔMLO=ΔLOM, то треугольник MLO-равнобедренный. ML=MO.
И вот второе чудо этой задачи:
Проведем перпендикуляр MT на LN и перпендикуляр MT1 на прямую q ||LK. ΔT1OM=ΔLKM=a ,как соответственные углы при параллельных
прямых q и LK. (Там не подписал угол a ,но суть ясна надеюсь).
И вот оно: треугольники MT1O и MTL равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Действительно: ΔT1OM=ΔMLT=a.
Поскольку у этих двух треугольников есть по равному прямому углу. То из соображений суммы углов треугольника: ΔT1MO=ΔLMT и равны стороны : ML=MO ,откуда следует вышесказанное утверждение.
Тогда: MT=MT1,то есть если окружности Z касается прямой LN соответственно в точке T (Тк радиус перпендикулярен касательной). То выходит что MT=MT1=R.
А значит радиус окружности Z перпендикулярен прямой q . И T1 принадлежит окружности Z. То есть q-касательная к окружности Z :)
ЧТД.