Question

Сечение! ,; 1)дан куб abcda₁b₁c₁d₁.постройте сечение куба плоскостью а₁вс.постройте сечение куба плоскостью,проходящей через точку м парельно плоскости а₁вс. 2)точка м лежит на ребре cd тетраэдра abcd.построить сечение тетраэдра плоскостью, а) проходящей через точку м,если мd: мс=5: 2. б)проходящящей через точки m,n и к,причем м-середина cd,n∈bc,nc=2bn,k∈ab,bk=2ak. b)проходящей через точку м параллельно прямым bd и ас,если мс: сd=2: 7 каким должно быть отношение мс: сd для того,чтобы такое сечение было ромбом?

Answer 1

1) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Она пересекает грань ВВ₁С₁С по прямой ВС. Так как точка А₁ принадлежит сечению, то секущая плоскость пересекает грань АА₁D₁D по прямой A₁D₁ (BC║A₁D₁).

A₁D₁CB - искомое сечение.

Расположение точки М не дано. Возьмем точку на ребре АА₁.

По признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Проведем в грани АА₁В₁В отрезок MF║А₁В, в грани AA₁D₁D отрезок МЕ║A₁D₁.

Плоскость грани АВСD пересекает параллельные плоскости (желтую и голубую) по параллельным прямым, поэтому в грани АВСD проводим отрезок FK║BC. Соединяем точки Е и К.

MEKF - искомое сечение.

2) В задании пунктов а) и в) точка М расположена одинаково. В пункте а) не сказано, как проходит сечение, а через одну точку можно провести бесконечно много сечений. Поэтому эти пункты объединим, стоим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно прямым АС и BD.

а) и в) Проведем в грани ACD МК║АС, а в грани BCD МР║BD.

МР║BD, а значит и плоскости ABD. Сечение проходит через МР и пересекает ABD, значит линия пересечения параллельна BD. Проводим КЕ║BD.

МК║АС, а значит и плоскости АВС. Сечение проходит через МК и пересекает АВС, значит линия пересечения параллельна АС. Значит получилось, что ЕР║АС.

МКЕР - искомое сечение. Имеет вид параллелограмма, так как противоположные стороны параллельны (МК и РЕ параллельны АС, значит МК║РЕ, КЕ и МР параллельны BD, значит КЕ║МР).

Сечение  может быть ромбом, если речь идет о правильном тетраэдре и точка М будет серединой стороны CD. Тогда все стороны сечения будут средними линиями граней тетраэдра и будут равны.

б) Соединим точки, находящиеся в одной грани: М и N, N и К.

Прямая MN лежит в грани BCD, эта грань пересекает плоскость грани ABD по прямой BD. Продлим MN до пересечения с прямой BD (точка Р).

Теперь точки Р и К лежат в плоскости одной грани ABD; проводим прямую РК. Она пересечет ребро AD в точке Т.

Соединяем М и Т.

МNKT - искомое сечение.