Обозначим точки касания окружности треугольника : О - центр окружности , точка М∈АВ , точка К∈ АС, точка F∈CВ ОК перпендикулярно АС, ОF перпендикулярно ВС ( как радиусы проведённые в точки касания) . Четырехугольник ОКСF - квадрат т.к ОК=OF Гипотенуза АВ иочкой касания М разбивается на 2 отрезка АМ и МВ. Обозначим АМ=Х , тогда МВ=12-Х. По свойству касательных, проведённых из одной точки) имеем: АМ=АК=Х BF=ВМ=12-Х CF=CK=r=2 Сторона АС=Х+2 , Сторона ВС=(12-Х+2)=14-Х По теореме Пифагора : АВ²=АС²+ВС² подставим : (Х+2)²+(14;-Х)²=12²
Х²+4Х+4+196_28Х+Х²=144 2Х²-24Х+28=0 Х²-12Х+28=0 D=12²-4·28=144-112=32 √D=√32=4√2 Х1=6+2√2 Х2=6-2√2 Если АМ=6+2√2 , то АС=8+2√2 , ВС= 8-2√2 Если АМ=6-2√2 , то АС=8-2√2, ВС=8+2√√2 SΔ=1|2 AC·BC SΔ=1/2(8+2√2)(8-2√2)=1/2·(64-8)=1/2·56=28 ответ:28
Трапеция АВСД: А =В = 90гр пусть большее основание равно АД = а, а меньшее равно ВС = в, высота трапеции АВ = Н, угол Д = α По условию диагональ АС = АВ (большей стороне), тогда ΔАСД равнобедренный и АС = а, а угол АСД = α В прямоугольном ΔАВС гипотенуза АС = а, катет АВ = Н и угол АСВ = 180 - 2α. Выразим а и в через Н: а = Н/sin (180 - 2α) = H/sin 2α b = H/tg (180 - 2α) = -H/tg 2α Площадь трапеции S = 0.5(a + b)·H S = 0.5(H/sin2α -H/tg 2α)·H S = 0.5H²(1/sin 2α - cos2α/sin2α) S = 0.5H²(1 - cos 2α)/sin 2α S = 0.5H² · 2sin²α/(2sin α · cos α) S = 0.5H² · sin α/ cos α S = 0.5H² · tg α H² = 2S/tg α H² = 2S ·ctg α H = √(2S·ctg α)
Таким образом, площадь равна: (6√3)² * sin 60 = 36 * 3 * √3/2 = 54√3 см².