Нужна ,не проходите тест: «перпендикулярность в пространстве» 1. найдите угол между пересекающимися диагоналями граней куба. 1) 300. 2) 450. 3) 600. 4) 900. 2. в кубе a…d1 найдите угол между прямыми ad1 и cb1. 1) 300. 2) 450. 3) 600. 4) 900. 3. диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в одном диагональном сечении. 1) 450 и 450. 2) 900 и 900. 3) 300 и 600. 4) 600 и 1200. 4. диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого является квадрат, в два раза больше стороны основания. найдите углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат в разных диагональных сечениях. 1) 450 и 1350. 2) 900 и 900. 3) 300 и 1500. 4) 600 и 1200. 5. найдите угол между скрещивающимися ребрами правильной треугольной пирамиды. 1) 300. 2) 450. 3) 600. 4) 900. 6. из точки, не принадлежащей плоскости опущен на нее перпендикуляр и проведена наклонная. найдите проекцию наклонной, если перпендикуляр равен 12 см, а наклонная 15 см. 1) 3 см. 2) 9 см. 3) 27 см. 4) 81 см. 7. найдите место прямых, перпендикулярных данной прямой и проходящих через данную на ней точку. 1) прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку. 2) плоскость, перпендикулярная данной прямой. 3) плоскость, параллельная данной прямой. 4) плоскость, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку. 8. найдите место точек, равноудаленных от двух данных точек. 1) перпендикуляр, проведенный к середине отрезка, соединяющего данные точки. 2) прямая, параллельная прямой, проходящей через данные точки. 3) плоскость, перпендикулярная прямой, проходящей через данные точки. 4) плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему данные точки и проходящая через его середину. 9. из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. зная, что их разность равна 25 см, а расстояние между их серединами 32,5 см, найдите наклонную. 1) 7,5 см. 2) 57,5 см. 3) 97 см. 4) 169 см. 10. концы отрезка находятся от данной плоскости на расстоянии 26 см и 37 см. его ортогональная проекция на плоскость равна 6 дм. найдите отрезок. 1) 61 см. 2) 63 см. 3) 64 см. 4) 65 см. 11. один из катетов прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости, а другой наклонен к ней под углом 450. найдите угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью. 1) 150. 2) 300. 3) 450. 4) 600. 12. найдите угол наклона отрезка к плоскости, если его ортогональная проекция на эту плоскость в два раза меньше самого отрезка. 1) 300. 2) 450. 3) 600. 4) 900. 13. найдите место точек, равноудаленных от всех точек окружности. 1) центр окружности. 2) окружность. 3) плоскость, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр. 4) прямая, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр. 14. найдите место точек, равноудаленных от всех сторон ромба. 1) перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через его вершину. 2) плоскость, перпендикулярная к плоскости ромба и проходящая через его диагональ. 3) перпендикуляр, проведенный к плоскости ромба и проходящий через точку пересечения его диагоналей. 4) окружность, вписанная в ромб.
Доказательство
Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
2) Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
Отсюда следует
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорема доказана.
Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
3) Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
4) тупоугольный - больше 90 градусов
остроугольный - меньше 90 градусов
5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
б. Катеты и гипотенуза
6) 6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
7) По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
8) --- тоже самое, что и 7
9) сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
10) Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
11) 1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.