Вравнобедренном треугольнике abc с основанием ac боковая сторона равна 60. если центр вписанной окружности делит высоту bd в отношении 12: 5, то основание треугольника равно
Условие означает, что половина основания относится к боковой стороне, как 5/12; то есть основание относится к боковой стороне, как 5/6, и равно 50.
на самом деле, эта устная задачка имеет полезное обобщение. Если есть треугольник со сторонами a b c, то биссектриса к стороне c делит её в отношении a/b, то есть - на отрезки ca/(a + b) и cb/(a + b); Поэтому биссектриса к стороне b делит биссектрису к стороне c на отрезки в отношении (считая от вершины C) a/(ca/(a + b)) = (a + b)/c; То есть центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении (a + b)/c, где с - сторона, к которой биссектриса проведена. В этой задаче c - основание, BD - биссектриса, и (60 + 60)/c = 12/5; с = 50;
Из условия следует что треугольник AOB-равнобедренный а OM-его медиана проведённая к основанию.Следовательно OM-высота треугольника AOB. Тогда и медиана CM треугольника ABC является его высотой, значит, этот треугольник – равнобедренный: CA=CB. Из равнобедренности треугольников ACB и AOB следуют равенства углов при их основаниях,значит угол OBC= угол OAC. Поскольку BL-биссектриса угла ABC то AK-биссектриса угла BAC. По условию AK-высота треугольника ABC поэтому AB=AC. Таким образом AB=BC=AC то треугольник ABC-равносторонний.
Решим через формулу площади треугольника: S=1/2 * a * h_a, где a - одна из сторон треугольника, h_a - высота, проведенная к ней. То есть, зная все стороны и все высоты, можно найти площадь тремя три стороны). Так вот, известно две стороны и высота, проведенная к первой стороне. Обозначим первую сторону как a, вторую сторону как b, высоту, проведенную к первой стороне, как h_a, высоту, проведенную ко второй стороне, как h_b. С одной стороны, площадь равна S = 1/2 * a * h_a, с другой стороны, S = 1/2 * b * h_b. Приравниваем эти выражения: 1/2 * a * h_a = 1/2 * b * h_b Отсюда h_b = a * h_a / b. Подставим значения, данные в условии: h_b = 16 * 1 / 2 = 8.
на самом деле, эта устная задачка имеет полезное обобщение.
Если есть треугольник со сторонами a b c, то биссектриса к стороне c делит её в отношении a/b, то есть - на отрезки ca/(a + b) и cb/(a + b);
Поэтому биссектриса к стороне b делит биссектрису к стороне c на отрезки в отношении (считая от вершины C) a/(ca/(a + b)) = (a + b)/c;
То есть центр вписанной окружности делит биссектрису в отношении (a + b)/c, где с - сторона, к которой биссектриса проведена.
В этой задаче c - основание, BD - биссектриса, и (60 + 60)/c = 12/5; с = 50;