Около окружности радиуса 4√3 см описан правильный треугольник .На его высоте как на стороне построен правильный шестиугольник , в который вписана другая окружность. Найдите ее радиус.
Объяснение:
Обозначим радиус вписанной в треугольник окружности r₃=4√3 см. Найдем 1)сторону правильного треугольника ;2) и его высоту :
a₃ = 2r √3 , a₃ = 2*4√3*√3=24 (см). Тогда половина стороны 12 см.
По т. Пифагора высота правильного треугольника
h₃=√(24²-12²)=12√3 (см) ⇒ по условию это сторона правильного шестиугольника а=12√3 см.
Найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник
r=(а√3)/2 , r=( 12√3* √3)/2 =18 (см)
Примечание Высота в правильном треугольнике является медианой.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена
медиана AM. Из точки M на сторону AC опущен перпендикуляр MH (H
∈ AC). Известно, что AM:MC=2:1 и площадь треугольника MHC равна 6.
Найдите площадь треугольника ABC
Объяснение:
ΔАМС подобен ΔМНС по двум углам : ∠АМС=∠МНС=90, ∠С-общий.
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны :
АМ/МН=МС/НС или АМ/МС=МН/НС=2/1 , значит к=2/1.
Отношение площадей подобных треугольников равно к ⇒
S(АМС) :S(МНС)=2:1 или S(АМС)=12см².
ΔАВАМ=ΔСАМ как прямоугольные по гипотенузе и катету : АВ=АС по условию, АМ-общая. В равные треугольник имеют равные площади : S(АМС)= S(АМВ)=12 см² ⇒ S(АВС)=12+12=24 (см²)
Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований (а+2а)/2=1,5а, а другой — полуразности оснований (2а-а)/2=0,5а.
Значит высота h=√(а²-(0,5а)²)=а√3/2
Площадь трапеции Sт=(а+2а)/2*h=3а/2*а√3/2=3√3*а²/4
Правильный треугольник со сторонами 2а.
Площадь треугольника Sтр=√3*(2а)²/4=√3а²
Отношение Sт:Sтр=3√3*а²/4 : √3*а²=3/4.