Question

Докажите что в произвольном многоугольника любая сторона не больше суммы остальных сторон.

Answer 1

 Положим что многоугольник выпуклый, то есть можно провести диагонали, обозначим первую вершину $A_{1}$ , вторую $A_{2}$ , третью $A_{3}$,$A_{4};A_{5};A_{6}...A_{n}$ соответственно     . 
 Проведем диагонали из вершины  $A_{1}$    к остальным вершинам соответственно , тогда из неравенство треугольников получим неравенства 
 $A_{1}A_{2}$ 
 заметим что в каждом слагаемом есть тот член, который есть в  последующем но она меньше суммы двух других ,  условливаясь что они равны то есть $A_{1}A_{3}=A_{1}A_{4}+A_{3}A_{4}$ (это означает что треугольник не вырожденный) и подставляя получим требуемое то есть 
$A_{1}A_{2}$ 
 что уже говорит о случае  $A_{1}A_{3}$