АВСЕ - пирамида с вершиной Е. В основании лежит правильный тр-ник, для которого радиус описанной окружности в два раза больше радиуса описанной окружности. r=R/2. ОК=ОВ/2=2а/2=а. ЕК - апофема на сторону АС. В тр-ке ЕКО ЕК²=ЕО²+ОК²=3а²+а²=4а², ЕК=2а - апофема. б) ЕК/ОК=2а/а=2. В прямоугольном треугольнике ЕОК гипотенуза ЕК вдвое больше катета ОК, значит ∠КЕО=30°, следовательно ∠ЕКО=60° - угол между боковой гранью и основанием. в) Площадь боковой поверхности: Sб=Р·l/2, где Р - периметр основания, l - апофема. R=AB/√3 ⇒ AB=R√3=2a√3. P=3AB=6a√3. Sб=6a√3·2a/2=6a²√3 (ед²).
Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2, b=a*sqr(3) Известно, что: R=a^2/sqr(4a^2-b^2) Подставив значение b, получим: R=a Отсюда: АВ=2 см Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда: r=sqr(8/2)=2 Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.
Сравним длины сторон:
NP = √[(7-6)^2 + (4-1)^2] = √(1+9) = √10
MQ = √[(2-1)^2 + (4-1)^2] = √(1+9) = √10
MN = √[(6-1)^2 + (1-1)^2] = 5
PQ = √[(7-2)^2 + (4-4)^2] = 5
MNPQ - параллелограмм, т.к. его противоположные стороны попарно равны.
NQ = √[(6-2)^2 + (1-4)^2] = √(16+9) = 5
MP = √[(7-1)^2 + (4-1)^2] = √(36+9) = √45 = 3*√5