1. Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1. S =π*r₁² ⇒ r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π) < 1 = r. значит можно. 2. Не может. k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ . Если : AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁. BE : EC = 1 : 2 ⇒BE = k₂ , EC = 2k₂ ; BC=3k₂. CF : FA = 1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA = 2k₃ ; AC =3k₃. DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ; EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ . AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁ ⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.
Если : AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁. BE : EC = 2 : 1 ⇒BE = 2k₂ , EC = k₂ ; BC=3k₂. DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда точка касания F середина AC.
1) Обозначим одну сторону прямоугольника 5х, другую 7х. Периметр прямоугольника равен сумме всех сторон, что по условию 144 см. Составляем уравнение: 5х+7х+5х+7х=144. 24х=144. х=6, Значит, одна сторона 5х=30 см, друга 7х=42 см. Площадь S=30·42=1260 кв.см
2) Одна сторона прямоугольника х см, вторая 3х см. Площадь такого прямоугольника S=x·3x=3x², по условию 48 кв см. Составляем уравнение: 3х²=48, х²=16, х=4 Значит, одна сторона прямоугольника 3 см, вторая 9 см. Квадрат имеет сторону 9 см. Площадь такого квадрата равна 9·9=81 кв. см.
3) Пусть одна сторона прямоугольника х , вторая сторона у, тогда площадь такого прямоугольника S=x·y
У нового прямоугольника сторона 2х, вторая сторона 4у, площадь такого прямоугольника Q=2x·4y=8x·y=8·S
