Решите по ! в единичном кубе abcda1b1c1d1 найдите cos угла между прямыми аe и be1, где e и e1 - середины ребер bc и b1c1 соответственно. (с рисунком, если можно)
А). Рассмотрим треугольники АМР и СКР. Они равны по второму признаку равенства: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника: - АМ=СК по условию; - углы А и С равны как углы при основании равнобедренного треугольника АВС; - углы АМР и СКР равны по условию. У равных треугольников АМР и СКР равны соответственные стороны МР и КР.
б). Рассмотрим треугольник МРК. Он равнобедренный (МР=КР как было доказано выше). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Т.е. <KMP=<MKP.
Рассмотрим треугольник АСЕ. Здесь ОК - средняя линия треугольника, т.к. соединяет середины сторон. Докажем, что это действительно так: - СК=ЕК по условию, т.к. МК - средняя линия трапеции; - СО=АО. Используем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых (у нас это прямая СЕ) отложить последовательно несколько равных отрезков (в нашем случае это отрезки СК и ЕК) и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую (здесь такими параллельными прямыми являются МК и АЕ, которые пересекают прямую АС), то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (в нашем случае такими равными отрезками будут являться АО и СО). Поскольку ОК - средняя линия треугольника АСЕ, то OK II AE, OK=1/2AE OK=1/2*16=8.
