Начертите прямоугольный треугольник и опишите вокруг него окружность. Любой прямоугольный треугольник опирается на диаметр описанной окружности, т.е. его гипотенуза = диаметру окружности. Следовательно, медиана, которая делит гипотенузу пополам, будет падать на середину диаметра - т.е. центр окружности. Половины диаметра - это радиусы окружности. Т.к. вершина прямого угла треугольника лежит на окружности, а медиана падает в её центр, значит медиана - это радиус окружности. Радиус одинаков по всей окружности. А если медиана - это радиус, и половины гипотенузы - тоже радиусы, делаем вывод, что медиана равна половине гипотенузы. Т.е. гипотенуза в целом будет равна 2-м медианам: 8+8=16.
1. ΔАОВ: ∠АОВ = 90°, АВ = АО/ cos60° = 2 см АВ = АС = 2 см ΔАВС: ∠САВ = 90°, по теореме Пифагора ВС = √(АВ² + АС²) = √(4 + 4) = 2√2 см
2. ΔАВС равносторонний, так как АВ = АС = 2 см и ∠ВАС = 60°, ⇒ ВС = 2 см ΔАОВ = ΔАОС по катету и гипотенузе (АО - общий катет, АВ = АС по условию), ⇒ ОВ = ОС. ΔОВС - прямоугольный, равнобедренный, значит ВС = ОВ√2 ОВ = ВС/√2 = 2/√2 = √2 см ΔАОВ: по теореме Пифагора АО = √(АВ² - ОВ) = √(4 - 2) = √2 см
3. ΔАВС равносторонний, так как АВ = АС и ∠ВАС = 60°, ⇒ ВС = АВ = АС = х ΔАОВ = ΔАОС по катету и гипотенузе (АО - общий катет, АВ = АС по условию), ⇒ ОВ = ОС. ΔОВС - прямоугольный, равнобедренный, значит ВС = ОВ√2 ОВ = ВС/√2 = х/√2 ΔАОВ: cos∠ABO = OB/AB = x/√2 / x = 1/√2 = √2/2, ⇒ ∠ABO = 45° ∠ACO = ∠ABO = 45° так как ΔАОВ = ΔАОС.
EA:AF=8:3
Пусть AF-x см, тогда EA-х+2.5.
х+2.5/x=8/3
(x+2.5)*3=8x
3x+7.5=8x
5x=7.5
x=1.5
EA=2.5+1.5=4
AF=1.5
EF=4+1.5=5.5