Question

Отрезок be является биссектрисой прямоугольного треугольника abc (угол a=90°). окружность проходит через точки b, a, e и пересекает сторону bc в точке d так, что bd: bc=5: 13. найти отношение площади треугольника abc к площади круга.

Answer 1

$BC$ и $AC$  секущие к окружности , тогда по свойству секущих получим 8x*(5x+8x)=a*(a+b),по теореме о биссектрис получим   
$\frac{b}{a}=\frac{AB}{13x}\\ AB=\sqrt{(13x)^2-(a+b)^2}\\$ 
Решаем систему 
$\left \{ {{8x*(5x+8x)=a*(a+b) } \atop {\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{(13x)^2-(a+b)^2}}{13x}}} \right. \\\\ \left \{ {{ 104x^2=a(a+b) \\ } \atop { \frac{b}{a}=\frac{\sqrt{169*x^2-(a+b)^2}}{13x} }} \right. \\\\ \left \{ {{104x^2=a^2+ab} \atop { \frac{b^2}{a^2}=\frac{169x^2-(a+b)^2}{169x^2}}} \right.\\\\ \left \{ {{104x^2=a^2+ab} \atop {b^2=a^2(1-\frac{(a+b)^2}{169x^2})}} \right. \\\\ \left \{ {{104x^2=a^2+ab} \atop {b^2=a^2(1-\frac{104^2x^2}{169a^2})}} \right.$ 
откуда 
$b=\frac{5a}{13}\\ x=\frac{3a}{26} \\ AB=\frac{15a}{26}\\$                              
$S_{ABC}=\frac{\frac{15a}{26}*\frac{18a}{13}}{2}=\frac{135a^2}{338 }\\ S_{okr}=(\frac{BE}{2})^2*\pi = \frac{25*a^2}{208} * \pi \\\\ \frac{S_{ABC}}{S_{okr}} = \frac{216}{65\pi}$