Question

С! в прямоугольном треугольнике высота и медиана , проведенная из вершины прямого угла делят этот угол на три равные части. площадь треугольника , образуемого вершиной прямого угла и точками пересечения высоты и медианы с гипотенузой , равна . найдите площадь круга вписанного в исходный треугольник.

Answer 1

В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят этот угол на три равные части. Площадь треугольника, образованного вершиной прямого угла и точками пересечения высоты и медианы с гипотенузой, равна 2√3. Найдите площадь круга, вписанного в исходный треугольник. 
Площадь круга S=π r² 
Радиус вписанного в треугольник  круга =S:р, где
р - полупериметр треугольника, S- его площадь. 
Высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят этот угол на три равные части. 
Т.е. каждый угол получается равным 30°. 
СМ, как медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе,  равна АМ=МВ. 
Треугольник СМВ - равнобедренный. 
Т.к.  угол МСН=углу НСВ=30°,  а СН⊥МВ, и угол МСВ=60°, то 
 СН является высотой и медианой треугольника МСВ, и  этот треугольник -  равносторонний . 
Площадь⊿ МСН=площади⊿ НСВ.  
Площадь △ МСВ=(2√3)*2=4√3 
СМ - медиана, делит площадь треугольника АСМ на два равновеликих треугольника.  
Площадь △АСМ=площади △СМВ.  
Площадь ⊿ АСВ= 2 площади △СМВ 
 S⊿ АВС=4√3)*2=8√3 (единиц площади
-----------------
 Повторим: радиус вписанного в треугольник  круга =S:р, где 
 р - полупериметр  треугольника, 
 S- его площадь. 
 Площадь мы нашли. 
 Вычислим полупериметр.  
 р=(АВ+АС+ВС):2 
 ВС как сторона равностороннего треугольника МВС  равна МВ  
 МВ найдем из формулы площади равностороннего треугольника.  
 S=(a²√3):4  
 4√3 =(МВ²√3):4 
 МВ²=16  
 МВ=4  
 ВС=МВ=МС=4 
 Так как СМ медиана,  АВ=2 МС=2 МВ 
 АВ=4*2=8  
 АС=АВ*sin (60°)=4√3 
 р=(8+4+4√3):2=2*(3+√3) 
 r=(8√3):2*(3+√3)=(4√3):(3+√3)
 Домножим числитель и знаменатель дроби на (3-√3) и по формуле сокращенного        умножения получим: 
  r=(8√3)*(3-√3):(9-3)=2(√3-1) 
 S=π*4*(√3-1)²=π*4*(4-2√3)=≈π*2,14=≈6,73 (единиц площади)
----------
 bzs*