Дано: треугольник АВС, ∠ABC = 60°, AB=√3, BC=2√3, BE - биссектриса.
Найти:BE
Рассмотрим треугольник АВС.
По теореме косинусов:
AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos∠B
AC² = 3 + 12 - 2*2√3*√3*0,5
AC²=15-6
AC²=9
AC=3 см
Все из того же треугольника ABC по теореме косинусов:
AB²=BC²+AC²-2*BC*AC * cos∠C
3=12+9 - 2*3*2√3 cos∠C
3=21-12√3cos∠C
12√3cos∠C=18
cos∠C = 18/12√3 = 3/2√3
Значит, cos∠C= 3/2√3
Избавимся от иррациональности в знаменателе (домножим числитель и знаменатель дроби на √3)
cos∠C = 3√3/6
Cos∠C = √3/2
∠C = 30°
∠A = 180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°
Видим, что ∠А - прямой, а это значит, что треугольник АВС - прямоугольный
∠ABE = 1/2 ∠ABC = 1/2*60°=30°
Рассмотрим ΔABE (∠A=90°)
cos∠B = 
cos30° = √3 / BE
√3/2 = √3/BE
Значит, ВЕ = 2 см
ответ: ВЕ=2 см
ответ: угол А=45°, угол В=35°
Объяснение: обозначим вершины треугольника А В С, где угол С=90°, высоту–СН, биссектрису СК. Так как биссектриса делит угол С пополам то угол КСВ=45°. Рассмотрим полученный ∆СНК. Он прямоугольный: угол СНК=90°; угол КСН=10°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол СКН=90-10=80°. Теперь рассмотрим полученный ∆КВС. Угол СКВсмежный с углом СКН и так как сумма смежных углов составляет 180°, то
угол СКВ=180-80=100°. Также в этом треугольнике мы нашли угол КСВ=45°. Так как сумма углов треугольника составляет 180°, то
угол В=180-100-45=35°. Теперь найдём угол А. Угол А=90-35°=45°
По неравенству треугольников , в треугольнике
Вычтем