1) Находим апофему А как высоту боковой грани.
А = √(6² - (4/2)²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2.
Двугранный угол при ребре основания равен плоскому углу между высотами h, проведенными к боковому ребру из точек А и Д в точку М.
По свойству площади треугольника определяем:
А*а = L*h. Отсюда h = А*а/ L = 4√2*4/6 = 8√2/3.
Получаем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами АМ и ДМ по 8√2/3 и с основанием АД, равным диагонали квадрата основания 4√2.
Косинус искомого угла М равен:
cos М = ((8√2/3)² + (8√2/3)² - (4√2)²)/(2*(8√2/3)*(8√2/3)) = -1/8.
Угол равен arccos(-1/8) = 1,696 радиан или 97,18 градуса.
2) Угол между плоскостями АВС и BDC1 равен плоскому углу между отрезками, проведенными из точек С и С1 в точку О пересечения диагоналей нижнего основания .
СО = √((2/2)² + (3/2)²) = √(1 + (9/4)) = √13/2.
ответ: tg(COC1) = CC1/CO = 4/(√13/2) = 8/√13 = 8√13/13.
Проведем высоты ВК и СМ
ВС=КМ=4 см
Обозначим АВ=х, тогда в прямоугольном треугольнике АВК : АК=х/2 - катет против угла в 30 градусов
По теореме Пифагора
АВ²=ВК²+АК²
х²=ВК²+(х/2)²
ВК²=3х²/4
ВК=х√3/2
Обозначим СD=y
В прямоугольном треугольнике CDM
СМ=у/2 - катет против угла в 30 градусов
По теореме Пифагора
CD²=CM²+MD²
y²=(y/2)²+MD²
MD=y√3/2
AD=8
AD=AK+KM+MD
(x/2)+ 4 + (y√3/2)=8
(x/2)+(y√3/2)=4
или
х+ (у√3)=8 (*)
ВК=СМ как высоты трапеции
х√3/2= у/2 ⇒ у=х√3 и подставим в (*)
х + х√3·√3=8
х+3х=8
4х=8
х=2
у=2√3
ответ. 2 и 2√3