Построение сечения показано на j1.jpg
Проще всего разобраться с AE/ED. Дело в том, что в треугольнике АВЕ ЕК и BD оказались медианами. Это следет просто из выбора точек К и М.
Поэтому АЕ/ЕD = 2.
Несколько сложнее, но не на много, с другими соотношениями.
на j1.jpg на нижнем рисунке показано, как вычисляется FC/FB. На чертеж вынесена плоскость DCB, все происходит на ней.
Соль решения - в удачном дополнительном построении - надо провести QC II BD, и рассмотреть пары подобных треугольников - пара (QPC и QDM) и пара (MBF и FQC)
QC/DM = PC/PD = 1/3; QC = MB/6 (поскольку МВ = 2DM)
Отсюда FB/FC = 6;
На j2.jpg показано, как найти последнее соотношение. Здесь в плоскости АВС (которая и представлена на рисунке "в плоском виде") строится средняя линяя КТ II AC, КТ = АС/2; и рассмотриваются подобные треугольники FKT и FGC;
ВС = 5*FC (из предыдущего пункта), ТС = 5*FC/2, FT = 7*FC/2;
=> KT = 7*GC/2; AC = 7*GC; AG = 6*GC;
Получается AG/GC = 6;
(странно, совпало отношение :) проверьте, вдруг я ошибся. Хотя точка F - "снаружи" BC, а точка G - "внутри" АС.)
Обращаю внимание на то, что я нигде не пользовался какой-то правильностью, равнобедренностью или еще чем таким. Все треугольники - произвольной формы.
Внешний угол треугольника - это угол, смежный с внутренним углом треугольника.
Т.к. треугольник прямоугольный, то один из углов равен 90°, тогда сумма острых его углов тоже равна 90°. Угол, смежный с прямым углом, тоже прямой.
По условию один из внешних углов равен 120°, тогда смежный с ним внутренний равен 180° - 120° = 60°. Тогда втрой острый угол прямоугольного треугольника равен 90° - 60° = 30°.
Таким образом, прямоугольный треугольник имеет углы 90°, 60° и 30°.
Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла, т.е. против прямого угла, и эта сторона - гипотенуза.
Наименьшая сторона лежит против наименьшего угла, т.е. - это катет, лежащий против угла в 30°.
Есть такое свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
По условию сумма наибольшей и наименьшей сторон прямоугольного треугольника равна 18 см, т.е. это сумма катета, лежащего против угла в 30° и гипотенузы.
Пусть катет равен х см, тогда гипотенуза равна (2х) см. Составим и решим уравнение:
х + 2х = 18,
3х = 18,
х = 18 : 3,
х = 6.
Значит, катет равен 6 см, тогда гипотенуза равна 2 · 6 = 12 (см)
ответ: 12 см и 6 см.
