Угол между прямой и плоскостью измеряется между этой прямой и её проекцией на плоскость. Примем сторону куба за 1. Тогда ДВ1 - это диагональ куба, равная 1*√3 = √3. Проекция её - ДС1 - диагональ грани = √2. Тогда косинус угла равен (3+2-1) / (2*√3*√2) = 2/√6 = 0.8164966. А угол равен arc cos 0.8164966 = 0.6154797 радиан = 35.26439°.
Через вершину выпуклого n-угольника проходит d = n*(n-3)/2 диагоналей. Доказать это просто: 1) Из каждой вершины выходит n-1 отрезок к остальным n-1 вершине. Но к двум соседним вершинам - это стороны, а не диагонали. Поэтому из каждой вершины выходит n-3 диагонали. Вершин всего n, поэтому получается n*(n-3) диагоналей. 2) Каждая диагональ соединяет две вершины. Если мы провели диагональ АС, то одновременно мы провели диагональ СА. Поэтому количество диагоналей нужно разделить пополам. Получается d = n*(n-3)/2 1) n = 4, d = 4*1/2 = 2 2) n = 5, d = 5*2/2 = 5 3) n = 6, d = 6*3/2 = 9 4) n = 10, d = 10*7/2 = 35
Примем сторону куба за 1.
Тогда ДВ1 - это диагональ куба, равная 1*√3 = √3.
Проекция её - ДС1 - диагональ грани = √2.
Тогда косинус угла равен (3+2-1) / (2*√3*√2) = 2/√6 = 0.8164966.
А угол равен arc cos 0.8164966 = 0.6154797 радиан = 35.26439°.