Question

Дано авсд-прямоугольная трапеция. (угол д = углу с =90градусов) вс=3см, сд=6см. вд перпендикулярен ац. найти: площадь трапеции. (напишите подробно, , чтоб и с доказательством подобия треугольников)

Answer 1

S = 45 см²

Объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Найдём гипотенузу BD прямоугольного треугольника BCD.

По теореме Пифагора

BD² = ВС² + СD² = 3² + 6² = 45

BD = √45 = 3√5 (см)

Поскольку BD ⊥ AC, то СО является высотой, опущенной из вершины прямого угла С треугольника ВСD.

$\displaystyle CO=\frac{BC\cdot CD}{BD} = \frac{3\cdot 6}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5} }~(cm).$

Известно, что высота, проведённая из вершины прямого угла данного прямоугольного треугольника делит этот треугольник на два треугольника подобных данному, поэтому ΔВОС ~ ΔCOD.

Коэффициент подобия k₁ = СD:BC = CO:BO = DO:CO

Из соотношения СD:BC = CO:BO найдём ВО

$\displaystyle \frac{6}{3}= \frac{6}{\sqrt{5} }:BO \rightarrow BO= \frac{3}{\sqrt{5} } (cm)$

Из соотношения СD:BC = DO:CO найдём DO

$\displaystyle \frac{6}{3}=DO:\frac{6}{\sqrt{5} } \rightarrow DO= \frac{12}{\sqrt{5} } (cm)$

ΔВОС ~ ΔDOA по двум углам ( ∠СВО = ∠ADO - накрест лежащие при BC || AD и секущей BD: ∠BCO = ∠DAO - накрест лежащие углы при BC || AD и секущей АС)

k₂ = DO:BO = AD:BC

$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{5} } : \frac{3}{\sqrt{5} }= AD : 3 \rightarrow AD=12 (cm)$

Площадь трапеции

$\displaystyle S = \frac{BC+AD}{2} \cdot CD = \frac{3+12}{2} \cdot 6 = 45(cm^{2} )$