Question

Надо . 1) f(x) =1-sinx/1+cosx ; f'(pi/4) 2) f(x) = 1-sinx/1+cosx ; f'(pi/3)

Answer 1

Хорошо, я буду выступать в роли школьного учителя и помогу решить эту задачу.

Для начала, нужно найти производную функции f(x) = (1 - sinx)/(1 + cosx).

Нам понадобятся два правила дифференцирования: правило производной частного и правило производной синуса и косинуса.

Правило производной частного гласит, что если у нас есть функции u(x) и v(x), то производная их частного равна (u'(x)*v(x) - v'(x)*u(x))/(v(x))^2.

Правило производной синуса и косинуса гласит, что производные sinx и cosx равны соответственно cosx и -sinx.

Теперь, давайте найдем производную функции f(x) = (1 - sinx)/(1 + cosx) и рассмотрим два конкретных значения x: pi/4 и pi/3.

1) Для этого применим правило производной частного:
f'(x) = ((1 + cosx)*(-cosx) - (1 - sinx)*(-sinx))/((1 + cosx)^2)

Упростим числитель и знаменатель:
= (-1 - cos^2x + cosx + cos^2x + sinx - sin^2x)/((1 + cosx)^2)
= (-2sinx + cosx)/((1 + cosx)^2)

Теперь найдем производную функции f(x) по x в точке x = pi/4.
Подставим x = pi/4 в выражение для f'(x):
f'(pi/4) = (-2sin(pi/4) + cos(pi/4))/((1 + cos(pi/4))^2)
= (-2(√2/2) + √2)/((1 + √2/2))^2
= (-√2 + √2)/((1 + √2/2))^2
= 0/((1 + √2/2))^2
= 0

Ответ: f'(pi/4) = 0.

2) Теперь рассмотрим вторую точку, x = pi/3. Снова применяем правило производной частного:
f'(x) = ((1 + cosx)*(-cosx) - (1 - sinx)*(-sinx))/((1 + cosx)^2)

Упростим числитель и знаменатель:
= (-1 - cos^2x + cosx + cos^2x + sinx - sin^2x)/((1 + cosx)^2)
= (-2sinx + cosx)/((1 + cosx)^2)

Теперь найдем производную функции f(x) по x в точке x = pi/3.
Подставим x = pi/3 в выражение для f'(x):
f'(pi/3) = (-2sin(pi/3) + cos(pi/3))/((1 + cos(pi/3))^2)
= (-2(√3/2) + 1)/((1 + 1/2)^2)
= (-√3 + 1)/(3/2)^2
= (-√3 + 1)/(9/4)
= -4(√3 - 1)/9

Ответ: f'(pi/3) = -4(√3 - 1)/9.

Это пошаговое решение должно помочь школьнику понять, как получить ответ и обосновать его. Всегда важно помнить, что дифференцирование - это навык, который можно развить с практикой.