Question

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна l, и образует с плоскостью основания пирамиды угол - альфа. найдите v пирамиды.

Answer 1

 Формула объёма пирамиды  V=S•h:3. Пусть данная пирамида SABCD, SM=L– апофема, ЅН - высота,  угол ЅМН= α

 Пирамида правильная, следовательно, её основание - правильный многоугольник,  грани  - равнобедренные треугольники, вершина  проецируется в центр основания.

  Апофемой называют высоту грани правильной пирамиды. Апофема ЅМ - перпендикулярна АВ, её проекция НМ – перпендикулярна АВ ( по т. о 3-х перпендикулярах).⇒  ∆ ЅНМ – прямоугольный, ВМ=АМ, КН=МН и  КМ параллельна и равна ВС. Высота ЅН=L•sinα. BC=2NM=2•L•cosα ⇒S(ABCD)=4L²•cos²α V=4L²•cos²α•L•sinα:3=4L³•cos²α•sinα:3,

Answer 2

Чтобы найти объем пирамиды, мы должны знать ее высоту и площадь основания. Дано, что апофема равна l, но для нахождения высоты нам нужно знать высоту пирамиды l' (не путать с апофемой).

Построим пирамиду и выделим через вершину пирамиды высоту l'. Получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет апофема l, один катет будет равен половине диагонали основания d (диагональ - это отрезок, соединяющий две вершины основания) и второй катет будет высота l' пирамиды.

Из синуса угла альфа можно выразить l' в зависимости от l и альфа: sin(alpha) = l' / l.
Отсюда l' = l * sin(alpha).

Затем по теореме Пифагора находим d:
d^2 = l^2 - 4 * l'^2 = l^2 - 4 * l^2 * sin^2(alpha).
Так как d - это диагональ, то d = sqrt(l^2 - 4 * l^2 * sin^2(alpha)).

Теперь, зная диагональ d, мы можем найти площадь основания S.
Представим основание пирамиды как ромб, у которого линия, соединяющая две противоположные вершины, является диагональю d, а боковая сторона - l. Тогда площадь ромба равна (d * l) / 2. Но так как пирамида - это половина ромба, то S = (d * l) / 4.
Подставляем выражение для d и получаем S = (sqrt(l^2 - 4 * l^2 * sin^2(alpha)) * l) / 4.

Наконец, чтобы найти объем пирамиды V, мы умножаем площадь основания S на высоту l': V = S * l'. Подставляем выражение для S и l' и получаем V = (sqrt(l^2 - 4 * l^2 * sin^2(alpha)) * l^2 * sin(alpha)) / 4.

Таким образом, мы получили формулу для нахождения объема пирамиды V:
V = (sqrt(l^2 - 4 * l^2 * sin^2(alpha)) * l^2 * sin(alpha)) / 4.